《应用微积分》6.3定积分的应用

第6

章定积分及其应用定积分的概念与性质定积分的计算定积分的应用6.3定积分的应用平面图形的面积1旋转体的体积

2平行截面已知的立体的体积3平面曲线的弧长41.直角坐标系下平面图形的面积如下图，如果，则曲线与直线及轴所围成的平面

图形的面积的为高、微元是

如果在上不是非负的，那么它的面积的微元应是以为

底的矩形面积于是，不论是否为非负的，即xyo总是6.3.1平面图形的面积

由上述公式得也可先画出与直线及轴所围成求由曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。的平面图形，则由定积分的几何意义知

例6.29解求由两条曲线与两条直线所围成的平面图形的面积。如果任取一子区间其上的面积用以为高，为底的矩形面积近似代替，即面积微元，如下图所示如果在负的。则在上的面积上不是非近似值应是即面积微元因此不论什么情况，总有

由上述公式知

求平面图形的面积。所围成的例6.30解根据正弦、余弦函数的性质知当时，；当时，

所以求抛物线与直线图形的面积。

所围成的作出它的草图,如下图所示,并求抛物线与直线的交点，即解方程组的交点。如果选择y作积分变量，,任取一个子区间，则在上的面积微元

于是例6.31解如果选择求由曲线及x轴所围成的平面图形的面积。作出它的草图,如下图所示如选择

x

为积分变量，，则

作积分变量，则取后一个表达式计算比较简单。例6.32解求平面图形面积的步骤：ABCDE

画图定出图形所在范围；

求围成平面图形的各条曲线的交点坐标；确定关于x积分还是关于y积分或需分成几部分，然后定出积分限；

写出面积的积分表达式；求出积分值（面积）。

因为图形关于代入上述积分式轴、求椭圆的面积（下图所示）其中轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍。即把由定积分的换元公式得中，例6.33解处的极径用2.极坐标系下平面图形的面积由曲线及两条半直线成的图形称为曲边扇形。所围任取一个子区间为半径，以为圆心的小扇形的面积作为面积微元，如下图中斜线部分的面积。即利用对称性知例6.34解所围成的曲边梯形绕轴旋

及具体解法如下：设旋转体是由曲线与直线轴转而成.用过点且垂直于轴的平面截该旋转体所得的截面是半

径为的圆，则截面面积为

于是旋转体的体积为6.3.2旋转体的体积类似地可以求得，由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为

求由椭圆分别绕轴和而成的旋转体的体积。

轴旋转

绕轴时，由上述公式并利用对称性，得

绕轴时，由上述公式并利用对称性，得

当时，则得球的体积为例6.35解的高为的正抛物线弓形绕其底边底长为旋转，求由此得到的旋转体体积。

以抛物线弓形的底边为轴,且以底边上的中垂线轴。则抛物线

为弓形的顶点C的坐标为,

底边的两个端点的坐标分别为设在该坐标系下抛物线的方程为因此抛物线过点A、B、C，由此解得：。即抛物线方程为

AOBy

x2ah

例6.36解于是抛物线弓形绕其底边旋转所得到的旋转体体积为求和直线

所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

先求出两曲线的交点：解方程组得交点减去由曲边三角形OPA绕x轴该旋转体的体积是等于由直角三角形OPA绕x轴旋转而成的圆锥体的体积旋转而成的旋转体的体积，即例6.37解所以代入公式得是轴）的截面所截设一物体，它被垂直于直线（设为的连续函数，的面积与

之间，则此物体的体积为事实上，由元素法，从而且此物体的位置在6.3.3平形截面已知的立体的体积取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积例6.38解设函数在上具有一阶连续的导数,在中任取子区间,其上一段弧

MN的长度为由下图知，它可以用曲线在点处的切线上相应该子区间的小段MT的长度近似。

由微分的几何意义,可知弧长的微元所以为6.3.4平面曲线的弧长若曲线是由参数方程则弧长的微元为则若曲线由极坐标方程弧长微元为则表示，表示，求悬链线从到的一段弧的长度。

因为代入公式得例6.39解求摆线第一拱的弧长

因为代入公式得例6.40解求阿基米德螺线上从变到的一段弧的长度。

因为代入公式得

例6.41解内容小结旋转体的体积2平面图形的面积