山西省临汾市联办中学2023年高三数学理月考试卷含解析

山西省临汾市联办中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[） B．[） C．[） D．[）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．2.设变量x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣6C．﹣1D．2参考答案：A考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过B，即的交点（5，3）时，直线在y轴上的截距最小，z最小，为﹣2×5+3=﹣7．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3.若直线(a+l)x+2y=0与直线x一ay=1互相垂直，则实数a的值等于(A)-1

(B)O

(C)1

(D)2参考答案：C略4.已知函数是偶函数，则一定是函数图象的对称轴的直线是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是

A．

B．C．

D．参考答案：D略6.已知关于的方程有三个不相等实根，那么实数的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C考点：方程的根（函数零点）．7.当n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为

A、30B、14C、8D、6参考答案：B当k＝1时，1≤3，是，进入循环S=2，k＝,2时，2≤3，是，进入循环S＝6，k＝3时8.函数(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是A.

B.(－∞,0)

C.

D.(0,+∞)参考答案：A9.如图，已知等于 A． B． C． D．参考答案：C,选C.10.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（

） A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．12..已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为－1，则实数a的值是______参考答案：1【分析】作出可行域，当在y轴上的截距越小时，越大，平移，观察图象即可求解.【详解】作出可行域如图：由可得，平移直线，当直线过点A时，有最大值，由得，解得或（舍去），故填1.13.在三棱锥P－ABC中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是＿＿＿＿参考答案：三棱锥中两条相对的棱所在是直线是异面直线，共有3对，从6条棱中任取两条，利用列举法可知有15种取法，∴取到两条棱异面的概率是．14.二项式的展开式中常数项为，则的值为

．参考答案：2

考点：二项式定理.15.已知平面区域内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M，此时的概率P为____________．

参考答案：略16.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.

甲说：乙去我才去；

乙说：丙去我才去；

丙说：甲不去我就不去；

丁说：乙不去我就不去。最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是

参考答案：甲乙丙17.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为

．参考答案：3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．【解答】解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.求椭圆的方程；过原点的直线与椭圆交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点在椭圆C上，且，直线与轴轴分别交于两点。设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；求面积的最大值.参考答案：（1）（2）详见解析【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（1），

设直线与椭圆交于两点．不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点，

又∵弦长为，∴，∴，可得，

解得，∴椭圆方程为．

（2）（i）设，则，[来源:Z_xx_k．Com]

直线AB的斜率，又，故直线AD的斜率，

设直线AD的方程为，由题意知．

由可得．

所以因．

由题意知所以

所以直线BD的方程为

令y=0，得，可得，

所以．因此存在常数使得结论成立．

（ii）直线BD的方程为．

令x=0得，即，

由（i）知，可得的面积．

因为，当且仅当时等号成立，

此时S取得最大值，所以的面积为最大．19.（本小题满分14分）已知函数，（其中a＞0），函数的图象在与y轴交点处的切线为l1，函数的图象在与x轴的交点处的切线为l2，且直线l1∥l2．（Ⅰ）求切线l1与l2的距离；（Ⅱ）若，满足，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当时，试探究与2的大小，说明你的理由．参考答案：解析：（Ⅰ），，函数与坐标轴的交点为，函数与坐标轴的交点为，由题意得，即，又，∴．·············································································································2分∴，，所以函数与的图象与其坐标轴的交点处的切线方程分别为，，·············································································································3分∴两条平行线间的距离为．············································································4分（Ⅱ）由得，故在上有解，令，只需．································································6分①当时，，所以；②当时，∵，∵，∴，，∴，故，即函数在区间上单调递减，所以，此时．综合①②得实数m的取值范围是．···························································9分（Ⅲ）当时，，理由如下：方法一、由题，，令，则，设是方程的根，即有则当时，；当时，．∴在上单调递减，在上单调递增，∴，································································12分∵，，∴，故，所以对于，．···························································14分方法二、由题，，令，，令，；，，······························12分∵，，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴，，∴，所以对于，．

14分略20.设函数f（x）=ex﹣ax﹣1，对?x∈R，f（x）≥0恒成立．（1）求a的取值集合；（2）求证：1+．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；根据条件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，讨论g（a）的单调性即得结论；（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，通过令x=（k∈N*），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＞lna时，f′（x）＞0；当x＜lna时，f′（x）＜0，因此当x=lna时，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．因为f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，所以f（x）min≥0，∴f（x）min=a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，令g（a）=a﹣alna﹣1，函数g（a）的导数为g′（a）=﹣lna，令g′（a）=0，解得a=1．当a＞1时，g′（a）＜0；当0＜a＜1时，g′（a）＞0，所以当a=1时，g（a）取得最大值，为0．所以g（a）=a﹣alna﹣1≤0．又a﹣alna﹣1≥0，因此a﹣alna﹣1=0，解得a=1；故a的取值集合是{a|a=1}．（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，当且仅当x=0时，等号成立，令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），累加，得1+++…+＞ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+…+ln2﹣ln