高等数学第三章

高等数学

（一）广东水利电力职业技术学院

数学教学部张静华第三章导数的应用3.1中值定理和函数的单调性3.2函数的极值与最值3.3曲线的凹凸性及拐点3.4函数图形的描绘3.5罗必达法则第三章导数的应用第一节中值定理和函数的单调性第一节中值定理和函数的单调性一、罗尔中值定理定理1：（罗尔中值定理）如果函数

f

(x)

满足⑴

在闭区间

[

a

,

b

]

上连续；则

在

(

a

,

b

)

内至少存

在

一点ξ，⑵

在开区间

(

a

,

b

)

内可导；xoyabABC⑶使得C，在该点处曲线的切线平行于x轴，从而平行于弦AB

.定理的几何意义：如果连续曲线

的弧AB

上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则

弧

上至少

有

一点ξ例1例1：下列函数中，在闭区间上满足罗尔定理条件的是（）⑴⑵⑶⑷例2例2：不求函数

的导数，说明方程有几个实根，并指出实根所在的区间。解：显然

f(x)

在区间

上满足罗尔定理，故至少存在一点，使同理可知，至少存在一点，及，使所以，方程至少有三个实根。又因为是三次方程，至多有三个实根。故方程有且仅有三个实根。例3例3：设，试证在

内至少存在一点x，满足证明：设显然，f(x)

在闭区间上连续，在开区间

内可导，且又由题设有因此，f(x)

在

上满足罗尔中值定理的条件。由罗尔中值定理知，至少存在一点

，使得，即f(x)

在

上连续，在

内可导，且，证例4例4（2012广东省大学生数学竞赛、高职高专类）设函数

明：至少存在一点

，使得证明：设依题意可知，F(x)

在上连续，在

内可导，且有由罗尔中值定理，至少存在一点

，使得即，从而例5例5：设函数

在闭区间

上连续，在开区间内可导，且在任一点处的导数不为零，又试证：方程

在开区间

内有且仅有一个实根。证：由于在闭区间上连续，且由零点定理可知，至少存在一点

，使即方程

在内至少有一个实根x0.假设还有，，不妨设，使由罗尔定理，必存在一点

，使与题设矛盾，故方程

有且仅有一个实根。练习设

f(x)

在闭区间

上连续，在开区间

内可练习（2011广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本科）导；当

时，

；且对区间

内所有的

x

,有

，证明在

上有且仅有一点

，使得证明：令依题意，有根据零值定理，知：至少存在一点

，使得

，即假若还存在着一点

，

，使得

，由练习（续）由罗尔中值定理可知：在

与

之间存在一点

，使得即，这与已知矛盾。故原命题成立。C，在该点处曲线的切线平行于弦AB

.定理2：（拉格朗日中值定理）如果函数

f

(x)

满足⑴

在闭区间

[

a

,

b

]

上连续；则在

(

a

,

b

)

内至少存

在一点ξ使定理的几何意义：⑵

在开区间

(

a

,

b

)

内可导，如果连续曲线

的弧AB

上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则

弧

上至少

有

一点xoyabABξC二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理于是有，使得间上满足拉格朗日定理中值的条件

.例6例6：验证函数

在

上满足拉格朗日定理，并求出定理中的

ξ

.解：在

上连续，在开区间内可导，且，

故在闭区（舍去）练习：1、1、下列函数中在给定区间上满足拉格朗日定理条件的是A.B.C.D.练习：2、2、下列函数中在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是A.B.C.D.拉格朗日定理的推论推论1：函数

f

(x)

在闭区间

[

a

,

b

]

上连续，在开区间

(

a

,

b

)

内，则（

c为常数

），证：任意，由拉格朗日中值定理，有

ξ

在

x1

，x2

之间使故

，（

c为常数

），推论2：在区间

(

a

,

b

)

内，，则（

c为常数

），不妨设利用拉格朗日中值定理的推论

1

证明等式例

3：证明证：令显然，f

(

x

)

在上连续，且由推论

1，又当

时，因此二、函数单调性的判别法定理2：设函数

f

(x)

在闭区间

[

a

,

b

]

上连续，在开区间

(

a

,

b

)

内可导且

，则函数在闭区间

[

a

,

b

]

上单调增加（减少）。证：就的情形进行证明，可类似证明。任意，由拉格朗日中值定理，有，使故所以函数在

[

a

,

b

]

上单调增加。⑴定理

2

中的闭区间换成

其

它区间（

包

括无

穷区间

），结论也成立。证明与定理

2

的证明类似。必须说明：⑵定理

2

中的条件：“

在开区间(

a

,

b

)内

”可以改为：“

在开区间(

a

,

b

)内除个别点导数不存在或导数为零外，都有”

其它条件不变，则原来的结论仍成立。如

，说明...有限或可列无限个点例7所以在其定义域上单调增加.例

7

证明函数

在其定义域上单调增加

.解

定义域注

有些

可

导函数虽在是单调的，

而在其各个部分区间上

就具有单调性

.xo

y由于其定义区间上可导，但却不.增减区间的可能分界点

函数

f

(x)

单调增加与单调减

少区间的分界点

具有什么性质？xo

yx

0xo

yx

0使

的点（

驻点

）可

能

是

增减区间的

分界点

.使

不

存在

的点

也

有

可能

是

增减区间的

分界点

.ox

y函数增减区间的求法解题步骤：⑴求出函数的定义域；⑵求出使或不存在的点；⑶将上述

各点

按

从小到大

的顺序插入

到定义域中，

把定义域划分成若干个子区间；⑷在每个子区间上确定的符号，从而判定函数在该子区间上的单调性

.为了便于查看，通常列表讨论

.例8例8

求函数的单调区间

.解

定义域令，解得↘↗↗↗↗

.

↘

；例9例9：求

的单调区间

.解：定义域↘↗↗令，得当

时，不存在

.、是函数的单调增加区间；是函数的单调减少区间

.例10例10（高考）设函数

，，讨论函数的单调性。解：函数的定义域为⑴当时，在

上单调递增；⑵当

或

时，令，即，得若，则例10（续）若，则↗↘↗f(x)

在

上单调递增，在上单调递减；在

上单调递增；综上，当

时，f(x)

在上单调递增；当

时，练习练习（2011广东高考文科19）设

，讨论函数的单调性。解：函数的定义域为当

时，在

上单调递增；当

时，令，得（负值舍去）练习（续）↗↘f(x)

在上单调递增，在上单调递减。综上，……三、利用函数的单调性证明不等式（例9）例

9

证明：当

时，证：设，则

f

(x)

在上连续。在

内，由函数单调性的判定定理知，

f

(x)

在上单调增加。所以，当时，，即，从而例11例11证明：当

时，证明：设因，故

为单调减函数又所以，结合的单调性，当时，，即练习练习：设函数⑴求；⑵证明：当时，

单调增加。解：⑴⑵当时，设当时，练习（续）⑵当时，设在上单调递减。又于是，当时，在上单调递增。例

12

证明：当

时，证：所以

在

上单调增加，当

时，例12等价于令

从而知，

在

上单调增加。，即故当时，，则四、确定方程的实根个数方法：函数在每个单调区间上的图象至多与

x

轴有一个交点，因此可由函数的单调区间的个数推得方程

至多有几个实根；然后在每个单调区间上用零点存在定理等方法检验，就可确定方程有几个实根。复习：零点存在定理（P

3

8）若函数

f

(

x

)

在

[

a

,b

]

上连续，且，则至少存在一个点，使得例13：确定方程的实根个数。解：令确定函数f

(

x

)的单调区间令，得驻点没有不可导的点。x所以，函数

f

(

x

)

在

、上单调增加，在上单调减少。例13例13（续）取

试算，得x所以，函数

f

(

x

)

在

、上单调增加，在上单调减少。由于

，因此在区间

内方程有一个实根。而

，因此在区间

、

上方程都没有实根。综上所述，原方程有且仅有一个实根。例14（考研）方程

在上有例14（）个实根。（A）0（B）1（C）2（D）无穷多解：令

.因为

f(x)

在上为偶函数，所以只须讨论

f(x)

在

有几个零点。注意：当

时，，所以只须讨论

f(x)在有几个零点。因为

f(x)

在

上连续，且所以f(x)在内至少有一个实根。例14（续）所以f(x)在内至少有一个实根。又因为故

f(x)

在

上单调递增，从而

f(x)

在只有一个零点，所以

f(x)

在

上只有一个零点。因此

f(x)

在

上恰有二个零点，即方程

在

上恰有二个实根。应选（C）练习设在上可导，且对任意的

，，当时，都有，则（）A.对任意

x，B.对任意

x，C.函数单调递增D.函数

单调递增答案：D习题1、求下列函数的单调区间：⑴；⑵2、证明：当

时，⑶习题解答：1（1）1、求下列函数的单调区间：⑴解：定义域令，得驻点所以f

(

x

)的单调减区间为，单调增区间为1（1）（续）⑵解：定义域所以f

(

x

)的单调增区间为1（2）解：定义域

，所以

在

，

，上单调增加；在1（3）⑶因为所以，函数有驻点；不可导点及x0××＋＋－＋↗↗↗↘上单调递减。2、证明：当

时，证：设则

f

(x)

在上连续。在

内，由函数单调性的判定定理知，

f

(x)

在上单调增加。所以，当

时，，从而有2、第二节函数的极值与最值一、函数的极值观察下图：xoyabx1x2x3x4（）（）（）（）⒈函数极值的定义定义

1

：设函数f

(x)在点x0

的某个邻域内有定义，若对于该邻域内任意异于x0

的点x

，恒有⑴，则

称

f

(x0)为函数

f

(x)的

极

大

值，并

称

x0

为极大值点。⑵

，则

称

f

(x0)为函数

f

(x)的

极

小

值，并

称

x0

为极小值点。函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。注意：

⑴函

数的

极值

与

最

值

是

有区别的。函

数的极大值

与极小值概念是一个局部性的概念，就是说，如果函数在某点达到极大值或极小值，那只是对该点附近某个局部范围（该点的某个邻域）而言的，在该邻域中，它是

f

(x)

的最大值或最小值，但对函数的整个定义域来说，它未必是最大值或最小值；而函数的最大值和最小值概念是整体性的概念，是在整个定义域上的最大值和最小值。⑵函

数

在

定义

域

内可能

有多个

极大值、极小值，且

其中的极大值不一定大于每个极小值，极小值也不一定小于每个极大值⑶函数定义区间的端点一定不是极值点；而函数的最大值、最小值可能出现在区间内部，也可能在区间的端点处取得。注意若点

x

0

是函数

的极值点，则

x

0

是

f

(

x

)

的驻点或⒉函数的极值的判定和求法定理

1

：（函数取得极值的必要条件）注意：定理

1

的逆命题是不成立的。导数不存在的点。通常把函数在定义域内的驻点和导数不存在的点称为函数的可能极值点。例如，函数

的驻点

不是它的极值点。xoy函数

在

处不可导，但

不是极值点。xoy插图定理2（第一充分条件）定理

2（第一充分条件）设函数

f

(

x

)

在点

x

0

处连续且在

x

0的某个去心邻域内可导，则在去心邻域内⑴若

时，有

，而当

时，有那么

x0

为

f

(x)

的极大值点；⑵若

时，有

，而当

时，有那么

x0

为

f

(x)

的极小值点；⑶若

在

x0

的左右同号，那么

x0

不是

f

(

x

)

的极值点。xoyx0xoyx0求函数

f

(

x

)

的极值可按如下步骤进行：⑴求出函数的定义域；⑵求出使

或

不存在的点；⑶将上述

各可能

极

值点

按

从

小到

大的顺

序

插入到

定义域中，把定义域划分成若干个子区间；⑷列表考察在每一个可能极值点左右两侧

的符号，根据定理2确定极值点；⑸求出各极值点处的函数值，从而得到函数

f

(

x

)

的全部极值。求函数的极值的步骤例1例

1

：求函数

的极值。解：定义域令，解得↘↗↗↗极小值为极小值点，极小值例2例

2

：求

的极值

.解：定义域↘↗↗令，得当

时，不存在。极大值极小值为极大值点，极大值为极小值点，极小值设

x

0

是函数

f

(

x

)

的驻点，且，

若，则

x

0

是函数

f

(

x

)

的极大（小）值点。注意：⑴在应用定理时，要注意检验

x

0

是函数

f

(

x

)

的驻点；⑵当时，

x

0

可能是函数

f

(

x

)的极大值点，也可能是极小值点或不是极值点，此时必须用第一充分条件判断；⑶当二

阶导数比

较

难

求，或

可能

极值点

不

全

是驻点时，亦应考虑用第一充分条件判断。定理

3

：（第二充分条件）例

3

：求

的极值

。解：定义域令，得驻点又所以，是极大值点，极大值是极小值点，极小值例3例4：试问

a

为何值时，函数

在处取得极值

？

它是极大值还是极小值

？

并求此极值。解：由题设又，，故由于，所以，函数

f

(

x

)

在处取得极大值，极大值为例4例5（研）设函数

在

处有极值，其

例5图形在处的切线与直线平行，则极大值与极小值之差为（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：依题意，有解得故，令，得驻点例5（续），令，得驻点极大值，极小值于是，极大值与极小值之差为

4，故选（D）设

f(x)

对于

满足方程例

6（2011广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本科）例6若

f(x)

在取得极值，则它是

.（填极大值或极小值）解：二阶可导，且在处取得极值，，且连续。例6（续）因此为极小值。例

7

（研）

设

，试确定方程

实根的个数及每个例7根所在的区间。分析解决这类型题的思路是：分离常数，然后分析所给函数在

指定区间上

的

单调性

和

极值

以及它

在

指定

区间

上

对应

的

值域

，从而

确定

该

函数

在

指定

区间

内零点

的

个数

，画

出函数

的图形对分析问题很有帮助。解：方程问题转化为讨论函数

与

的交点个数。例7（续1）考察函数

的单调性、极值和值域。定义域，令，得x↗↘极大值又例7（续2）x↗↘极大值又所以，当

时，方程恰有二根，且；当时，方程恰有一根；当

时，方程无根。练习（研）

设

，试确定方程

实根的个数及每个练习根所在的区间。解：方程问题转化为讨论函数与的交点个数。考察函数的单调性、极值和值域。定义域，令，得练习（续1）x↗↘极小值↗又练习（续2）所以，当

时，方程恰有一负根；当当时，方程

恰有二根，且；当时，方程

恰有三根，且二、函数的最值及应用随着函数定义域的不同，函数最值的情况有很大的差别。下面就几种主要的、也是常用的简单情形讨论如下。⒈函数

f

(

x

)

在闭区间

[

a

,

b

]

上

连

续

且

至多存

在

有限个

可能极值点；⑴求出函数f

(

x

)在(

a

,b

)内的所有可能极值点；⑵求出函数f

(

x

)在

区间两

端点的函数值f

(

a

)和f

(

b

)

，以及⑶

比较

这些函数值的大小，最大

者为函数

f

(

x

)在[

a

,b

]上在所有可能极值点处的函数值；的最大值，最小者为函数

f

(

x

)在[

a

,b

]上的最小值。例5例5：求函数

在区间

上的最大值和最小值。解：令，得；y

在不可导。因为，，，所以，例6⒉函数f

(

x

)在一般区间（包括无穷区间）上连续，且有唯一的可能极值点（设为

x

0

），若

x

0

是函数

f

(

x

)

的极大（小）值点，则x

0也是f

(

x

)

的最大（

小

）值点。例6：求函数的最值。解：定义域又因此，

是极小值点，也是最小值点，最小值为⒊

如

果

函

数

在

所考虑的

区间上

是单调递增或单调递减的，则它只可能在区间的两个端点处达到最大值或最小值。例7：求函数

在

上的最值。解：因为所以函数

f

(

x

)

在

上单调递增，无最大值，最小值为例7得

（负值舍去）例8：求函数的值域。解：定义域令

，x极大值例8x极大值例8（续）因为

，所以函数的值域为例9（2012广东省大学生数学竞赛、高职高专类）例9（利用函数的最大值或最小值证明不等式）利用函数的最大值或最小值证明不等式当

时，证明不等式：证明：设，显然，f(x)

在

上连续。令，得列表如下：例9（续）x0↗↘最大值由此可知，函数

f(x)

只能在区间的端点取得最小值。又因为所以，当

时，有，即的可能极值点x0

，则可以直接断定x0

就是函数

f

(

x

)

的最大（小）⒋实际问题如果根据实际问题的性质，可以断定连续的目标函数

f

(

x

)

在定义区间内一定取得最大（小）值，而在定义区间内

f

(

x

)

有唯一值点。而

是定义区间内唯一的可能极值例10例

10

：

要制作一个容积为

4

m

3

的长方体形

的无盖水箱，水箱的底部是正方形，如何设计解设水箱底面边长为

x

，高为

h，表面积为

s，又消去

h，得令，得驻点才能使用料最省？由问题的实际意义，水箱用料

的最小值一定存在，点，所以当时，水箱用料最省.则例11例

11

欲

建

造

一座底面是正方形的平顶仓库，设仓库容积是1500

m

3，已知仓库屋顶单位面积的造价是四周墙壁造价的3倍，求仓库底的边长和高，使总造价最低。解：设底边长为x米，高为y米，墙壁造价为

q元/m

2，总造价为w元。则，又，消去y得，得唯一驻点令由于仓库总造价的最小值确实存在，所以当底边长为

10

米

，高为

15

米时，仓库总造价最低。练习：11、设函数在上连续，其导函数的图形如图所A.一个极小值点，两个极大值点B.两个极小值点，一个极大值点C.两个极小值点，两个极大值点D.三个极小值点，一个极大值点示，则有（）答案：Cxyox1x2x3练习：2练习：不存在，则（）A.

及

一定都是极值点2、设函数

在处有

，在

处答案：CB.只有

是极值点C.

及

都可能不是极值点D.

及

至少有一个点是极值点练习：3练习：处有极大值，则必有（）A.在

处有极大值B.在

处有极小值C.在

处有最小值D.在

处既无极值也无最小值3、设

在上严格单调递减，又可导函数在答案：B练习：44、判断题：⑴二阶可导函数f

(

x

)在

x

0

处取得极值，则；⑵可导函数的极值点必是函数的驻点；⑶若函数

f

(x)

在x

0处取得极值，则曲线

在点处必有平行于

x

轴的切线；⑷在区间(

a

,b

)内的可导函数只有一个极大值点，则这个极大值点是

f

(

x

)在(

a

,b

)内的最大值点。4、判断题：⑴二阶可导函数f

(

x

)在

x

0

处取得极值，则；答：错如，函数xoy练习4解答4（2）、（3）⑵可导函数的极值点必是函数的驻点；√

⑶若函数f

(

x

)在

x

0

处取得极值，则曲线在点处必有平行于

x

轴的切线；xoyxoy⑷在区间(

a

,b

)内的可导函数只有一个极大值点，则这个极大值点是

f

(

x

)在(

a

,b

)内的最大值点。4（4）、（5）xoyabx0习题1、求下列函数的极值点与极值：⑴；⑵2、设函数

在

处都取得极值，求

a，b

的值，并讨论

f

(

x

)在

x

1，

x

2

处是取得极大值还是极小值。3、已知函数（m

为常数

）在区间上有最大值

3

，求此函数在上的最小值。4、求内接于半径为R的球的正圆锥体，当其体积最大时的高与体积。2、求下列函数的极值点与极值：⑴解：定义域令，得极大值解答：1（1）⑵解：定义域y

在

R

上单调递增，无极值。1（2）2、2、设函数在处都取得极值，求a，b的值并讨论

f

(

x

)在

x

1，x

2处是取得极大值还是极小值。解：由题设，即解得，由于所以

f

(

x

)在处取得极小值，在处取得极大值。2（续）上页：3、3、已知函数

（

m

为常数

）在区间上有最大值

3

，求此函数在上的最小值。解：令，得

，由于所以4、4、求内接于半径为R的球的正圆锥体当其体积最大时的高与体积。解：设球心到圆锥底面垂线的长为

x

，.x，圆锥的底半径为，则圆锥的高为圆锥的体积为令，得唯一驻点由问题的实际意义可知，圆锥体积的最大值一定存在，而是定义区间内唯一的可能极值点，所以此时圆锥的高为4（续）ABCDFEP0.xoy第三节曲线的凹凸性与函数作图间内是凹

的

.每点的切线的上

方，一、曲线的凹凸性及拐点1、曲线凹凸的定义x0y定义

若在某区间内，曲线该区间称为曲线的凹（下）（凸）区间

.位于其上则称此曲线在该区（凸）x0y....ab..ab2、曲线凹凸的判别法定理

内二阶可导，且恒有，则曲线上是凹2、曲线凹凸的判别法（凸）在闭区间在上连续，在开区间的切线的斜率↗是单调增加的即切线的斜率

↘是单调减少的即x0yx0y....ab..ab设函数

3、拐点的定义3、拐点的定义定义

连续曲线上凹和凸的分界点称为曲线的拐点

.x0y.aAbBx0C﹏﹏﹏注意

拐点是曲线上的点，不能仅用横坐标表4、拐点的判别法曲线凹凸区间的分界点x0使或不存在的点x

0若在点x

0的两侧的符号相反点是点是（相同）曲线凹凸区间的分界点，（不是）拐点

.（不是）4、拐点的判别法，则那么x0示，必须用平面上点坐标形式表示

.5、求曲线凹凸区间和拐点的步骤⑴确定函数

⑵

求二阶导数；⑶

求出在定义域内使和的点；⑷

将上述各点按从不到大的顺序插入定义域⑸列表讨论各部分区间上的符号，曲线的凹凸区间，并求出拐点

.的定义域；不存在确定中，把定义域划分为若干个子区间；例1

求曲线的凹凸区间及拐点

.解函数的定义域为时，时，不存在；例1例1（续）拐点拐点凸的凹的凸的时，时，不存在；由表格可知，区间

，

是曲

线的凸区间，区间是曲线的凹区间；

点，是曲线的两个拐点

.

例2例

2

求曲线的凹凸区间及拐点解

函数的定义域为得令凹的凹的的凹区间，无拐点

.是曲线∴x0y..例3例3

设点是曲线的拐点，求，解

因为拐点是曲线上的点，所以⑴又函数有二阶导数所以⑵由式⑴、⑵可解得练习及解答例

4

求函数的增减区间、极值、凹凸区间和拐点

.解

函数的定义域为令得极大值极小值拐点得令习题(专插本)：1、2、31、求函数的单调区间与极值及其图形的凹3、已知

是曲线

的拐点，且曲线在点处取得极值，求

a、b、c

.2、设函数⑴判断

f(x)

在区间上的凹凸性，并说明理由；⑵证明：当时，有凸区间与拐点.习题解答：1、1、求函数的单调区间与极值及其图形的凹凸区间与拐点.解：定义域令，得令，得1（续）凸增极大值凸减拐点凹减极小值凹增拐点2、2、设函数⑴判断

f(x)

在区间上的凹凸性，并说明理由；⑵证明：当时，有解：⑴定义域在区间上是凸的。⑵由

⑴

知，在区间上单调递减。当时，当时，2（续）⑵由

⑴

知，在区间上单调递减。当时，在区间上单调递增。当时，（上页）3、已知

是曲线

的拐点，且曲线在点处取得极值，求

a、b、c

.解：由题设有又3、所以解得3（续）二、函数图形的描绘1、曲线的水平渐近线定义

若当自变量（

或仅当或函数f

(x)以常量

b

为极限，那么直线叫做曲线的水平渐近线

.即）时，例如因为所以曲线有水平渐近线：x

0

y和水平渐近线的例2、曲线的垂直渐近线定义

如果当自变量（或仅当或）时，，

那么直线叫做曲线的垂直渐近线

.2、曲线的垂直渐近线函数f

(x)为无穷大量，即例如：x0y所以曲线有垂直渐近线：由于所以曲线有水平渐近线：垂直渐近线的例，由于例

1求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线⑴解所以曲线有水平渐近线因为例1⑴又所以曲线有垂直渐近线⑵解又，故有水平渐近线例1⑵曲线没有垂直渐近线

.例2例2：曲线A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线解：因为，所以有水平渐近线又，所以有铅直渐近线故选项D正确。例3例3：曲线的水平渐近线是

解：因为所以有水平渐近线例4例4（2012广东专插本）如果曲线的水平渐近线存在，则常数

（）A.2B.1C.0D.解：存在习题：求下列曲线的渐近线⑴习题⑵⑶⑷习题：求下列曲线的渐近线⑴解：因为所以是曲线的水平渐近线；是曲线的垂直渐近线。因为所以习题解答（1）习题：求下列曲线的渐近线解：因为所以是曲线的水平渐近线；是曲线的垂直渐近线。因为所以习题解答（2）⑵习题：求下列曲线的渐近线⑶解：因为所以是曲线的水平渐近线；是曲线的垂直渐近线。因为所以习题解答（3）习题解答（4）⑷解：因为所以是曲线的水平渐近线；因为所以

是曲线的垂直渐近线。注意：定义域为⑶

求函数的一、二阶导数，在定义域内求出函数的可能极并确定函数的单调区间和极值点、函数图象的凹凸区间与拐点；3、函数图形的描绘利用导数描绘函数图象的步骤：⑴确定函数的定义域；⑵

讨论奇偶性（对称性）和周期性（重现性）；值点、二阶导数为零或不存在的点；⑷

将上述各点按从小到大的顺序插入函数的定义域内，把把定义域划分为若干个小区间；⑸

在划分所得的每个小区间内确定一、二阶导数的符号，⑹

讨论曲线有无渐近线；⑺

作曲线与坐标轴的交点等辅助点，并描点作图。作图步骤（续）例1：作函数

的图象。解：函数的定义域为令

，得驻点令

，得列表讨论如下：例1函数的定义域为令，得驻点；令

，得拐点极小值渐近线：因为所以直线是水平渐近线；因为，所以直线

是垂直渐近线。例1（续1）xoy......例1（续2）例2

作函数的图象

.解函数的定义域为且是偶函数，因此只要在上作出该函数的图象

，利用对称性便可得整个图象

.当时，；当时，例2曲线极大值拐点又所以为函数图象的水平渐近线；例2（续1）由..得到图象上的点，结合以上表格，先描出函数在区上的图形，再作其关于

y

轴的对称图形

....例2（续2）和间是偶函数，因此只要在习题：作函数的图象。解：函数的定义域为习题当时，上作出该函数的图象，利用对称性便可得整个图象。列表讨论如下：习题（续1）x00y极大值0渐近线：因为，所以直线是水平渐近线；因为，所以直线

是垂直渐近线。xoy习题（续2）第五节罗必达法则定理：若

满足⑴是“

”型或“

”型未定式；

⑵则有例1（1）、（2）例1：求下列极限⑴

解：原式⑵

解：原式~例1（3）⑶解：原式…例1（4）、（5）⑷

解：原式解：原式⑸例1（6）⑹（考研）

解：原式⑺（考研）例1（7）解：原式当时，例1（7）（续）原式⑴

不是“”

或

“”未定式的极限决不能用罗必达法则；⑵

使用一次罗必达法则

后仍是

未定式

时，

可

连续

使

用罗

必达法则，但连续使用前应注意化简极限式子，若式中有极限为非零常数的因式，则可先行求出；⑶

与其它求极限的方法综合运用，注意选择简便的解法；⑷

罗必达法则的条件是充分而不必要的条件，若不存在时，不能断定

不存在，这时应用其它方法求解。注意：例2例2：求此极限是

型未定式，但若使用罗必达法则，有不存在

.事实上，例3例3：计算出现循环，罗必达法则失效

.解：原式若使用罗必达法则，情况会怎样？请试一下.、等非基本情形，它们可以通过恒等变形化为基本情形

，其他类型的未定式未定式的极限除了、外，还有、、

、请看下面的例子。例

4：求下列极限解：原式例4（1）⑴解：原式例4（2）⑵（考研）

且，

且

令解：原式例4（3）⑶（考研）

令例

5：求下列极限解：原式例5（1）⑴⑵（考研）例5（2）解：原式例5（2）（续1）例5（2）（续2）例5（3）⑶（考研）解：原式例5（3）（续）例

6：求解：原式因为所以例6例

7（2012广东省大学生数学竞赛、高职高专类）例7求解：原式因为所以，原式例8例8（第二届全国大学生数学竞赛决赛、非数学类）求解：原式因为例8（续）所以，原式例

9：求解：原式所以，原式例9因为，其中练习：求解：原式练习原式例10（1）例10（考研）求下列极限：⑴解：因为，又因为故该极限是型未定式。原式，所以，例10续（1