2020北京东城高三一模数学

．2020京东城高三一模．数

学

2020.5本试卷共4页，150分。考试时长120分。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小，每小题分，40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项。(1)已集合A

(B)

(C)

(D)

(2)函f(x

2

的定义域为(A)

(-]

(B)

[2(C)[,+

(D)[2,(3)已

2i

()

，则(A)1(4)若曲线Cx

2

(B)0(C)2的条渐近线与直线yx平，则的为

(A)

(B)

(C)

(D)2(5)如所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥体积为4(B)6(C)

(6)已那么在下列不等式中，成立的是1/

2(A)x22

(B)

1

(C)x

(D)

x(7)在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动每12分钟转动一.若点M的初13始位置坐标为,)22

，则运动到3

分钟时，动点M所位置的坐标是(A)(

3113,)(B)(,)2222(C)(

3,)22

(D)

(

3,)22(8)已三角形ABC

，那么“

+ABAC

”是“三角形ABC

为锐角三角形”的(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(9)设O为标点，点A(,0)，动点P抛物线xOM的率的范围为

(B)必而不充分条件(D)既不充分也不必要条件上，且位于第一象限，M是段中点，则直线(A)，]

22(B))(C)(0，](D)[22

(10)假设在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者现我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模.假捕食者的数量以(t)表示，被捕食者的数量以(t)表下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向下说正确的是：（A若在t，t

时刻满足：(t(t)2

，则x(t)=(t2

；）果(t数是先上升后下降的，那么(t)的量一定也是先上升后下降；（C被捕食者数量与捕食者数不会同时到达最大值或最小值；（D被捕食者数量与捕食者数总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大2/

共110分）

xa二、填空题共5小题每小题5分共25分xa(11)已知量,),,c,)，ab

共线，则实数=

(12)在

2(x)x

6的展开式中常数项为.(数字作)(13)圆心轴，且与直线l:x和l:y都切的圆的方程___.2(14)

是边三角形，点D在AC的长线上，且ADCD，7，CD

，sin(15)设函f(x)

(x

给出下列四个结论：①对，

，

使得

f(x)

无解；②对

，

，使得

(x)

有两解；③当a

时，

，使得

f

有解；④当a2时R

，使得

f(x)

有三解其中，所有正确结论的序号是.注本给的论，多符题要。部对得分，选有选0，其得分。三、解答题共6小题共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)（本小题14分如图，在四棱锥P-ABCD中PD面，面ABCD为行四边形，，AC，PD．（Ⅰ）求证：//

平面；（Ⅱ）求二面角PCB的弦值的大小3/

++++++++++(17)（本小题14分++++++++++ππ已知函数()sin()()(a，满.66（Ⅰ）求函数

(x)

的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于方程

)在间[上有两个不同解，求实数m的值范围从①

fx)

的最大值为，

f)

的图象与直线

的两个相邻交点的距离等于π，③f(x)

的图象过点π(,6

这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作.注如选多条分解，第个答分(18)（本小题14分中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年斗全球系统建设将全完.下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的5个位的横、纵坐标误差的值，其中“”表北斗二代定位模的误差的值，”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位米）（Ⅰ）从北斗二代定位的5个位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于1米概率；（Ⅱ）从图中四个点位中随机选出两个，记

42

yX为其中纵坐标误差的值小于点位的个数,

5

+

+

+

+

510

x

152求的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误

++++++++++++++D+++

+

46差的方差的大小.（结论不要求明）810124/

(19)（本题14分）2y已知椭圆:a0)它的上，下顶点分别为，，左，右焦点分别为F，，四边形b2AFBF为方形，且面积为2.2（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线ll2形，求出该菱形周长的最大值.

，与椭圆E分交于点,D,M,N，且四边形CDMN是(20)（本题15分）已知函数

f(x(lnx)

(aR).（Ⅰ）若a，求曲线f()点(1,f(1))处切线方程；（Ⅱ）若fx)有个极值点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求fx)在间2

上的最小值(21)（本小题14分数列

，，x，，，，对于给定的t(t)2n+

，记满足不等式：xn

(n)(，)的t*构的集合为+

t)

.（Ⅰ）若数列

：x=

，写出集合(2)

；（Ⅱ）如果

t)(t，t+

均为相同的单元素集合，求证：数列

x，，，，2n

为等差数列；（III)如

t)(tNt+

为单元素集合，那么数列

xx，，2n

还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）5/

2020京一选题共10小，小分共40分）（1）D（2）B）A（4）A（6）D（7）C）B（9（10）C二填题共5小，小5分共25分（11）

3

）

160（13）

(x2

）

2

（15）③④三、解答题共6小题共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)（本小题14分解：（Ⅰ）如图，因为四边形ABCD为行四边形，所以AD//BC，因为BC面PBC，AD平PBC，所以AD//面．…………6（Ⅱ）取C为坐标原点，过点C的平行线为

轴，依题意建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．由题意得，(0,，A，(0,0,0)，．所以，(1,1,0)，AC．设平面PBC的法向量为ny,z)

，则

0,0,

即

y0,x0.6/

令则x所以n

，z．因为为平行四边，且AC所以CDAC．因为面，所以PDAC．又因为，所以面PDC．所以平面的向量为AC=(1,0,0)，所以ACnAC|

33

，由题意可知二面角DB的面角为钝角，所以二面角PC余弦值的大小为(17)（本小题14分ππ解：（Ⅰ）因为(x)sin(x)2(x)6sin()

33

.……………分sin(22)]62)6所以函数f()的小正周期

.因为，所函数(x)

的最大值和最小值分别为a,

.π若选①，则，数f(x)2sin(2x)

；若选②，则函数f()

π的最小值，从而a，函f(x)2sin(2)67/

；

选③，(

πππ)，而，函数f(x)2sin(2)6

.

……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()的大值为；因为关于x的程f(x)在间[m]

上有两个不同解，当]

πππ时，2,2m]66

.[

4π)

5π9πππ所以≤，得.2623所以，实数的取值范围是.…………分(18)（本小题14分解（Ⅰ）由图知，在北斗二代定位的个中，横坐标误差的绝值大0有3点，所以从中机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大1的概率为

.………4分（Ⅱ）由图知,

，，C，D

四个点位中纵坐标误差值小于

的有两个点

CD

.所以所可取值为.PX0)

C2

,PX

23

,P2)

22

.所以的布为

2P

8/

所以X

的期望

16

.…………12分（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三………14分(19)（本题14分）解：（Ⅰ）因为:

22a0)，b2所以

a

2

2

2

.因为四边AFBF

为正方形，且面积为2

,所以22，

)c

.所以bc，

a

2

2

2

.所以椭圆:

.

………4分（Ⅱ）设平行直线l:，l:，不妨设直线y与

交于

yy122

由

，得x

，

kx化简得：，其中km)

2)k

m

即

.所以xx

km

，x2

22k2

，由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知OOD，所以xy，，kxm9/

3(4)xy3(4)mmkm

，

3

k

所以CD|=(1

2

)[(x1

2

x]1

2

)[

16k2m2m](2k22k2

(1)(3222=

8+3k

222k2

3(42

k2

)3所以当且当

22

时，

|CD

的最大值为3.此时四边CDMN周最大值为43.(20)（本小题15分

…………分解（Ⅰ）当

a

时，

，所以.(1)又因为所以切线程为

，y

，即x

.

………4分10/

ae)aae)a2)

ax

，设

g(x)lnx

，当a≤0易证g(x)

在

不题.当时

a

，令

，当0,

a

时，

上单调递增，当

x

时，

a

上单调递减，所以

处取得极大值

a

.依题意，函数

有两个零点，则

10,即a2a2a

，解得

.又由于

，ga

a0，e

12

12

，由

xxx0)

得g(

111222

a实数的取值范围为

0

12

时，

有两个极值点.

…………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当，xg

1a2

，11/

所以

在上单调递减，

上的最小值为

f)a(ln2a

2

.………15(21)（本小题14分解：（Ⅰ）由于A：=n2n

，(2)

为满足不等式xn)(N)t+

的

*

构成的集合，所以有：

2

(N,n+

，当时上式可化为+2

，所以

.当n=1，上式可化

.所以T(2)

为[.………4（Ⅱ）对于数列

：x，x，x，

，若T(t)

(N，+

中均只有同一个元素，不妨设为a

.下面证明数列

为等差数列当

n=t+1，有t

t

(1)

；当

nt

时，有

xtt

(

(2)

；由于(，(2)两式对任意大于1的整数均成立，所以有

xt

at

成立，从而数列

x，