山西省临汾市县底镇第二中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省临汾市县底镇第二中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞8﹣m）=（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．与σ的值有关参考答案：C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X＜8﹣m），从而求出P（X＞8﹣m）即可．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（4，o2），∴正态曲线的对称轴是x=4，∵P（X＞m）=0.3，而m与8﹣m关于x=4对称，由正态曲线的对称性得：∴P（X＞m）=P（X＜8﹣m）=0.3，故P（X＞8﹣m）=1﹣0.3=0.7，故选：C．2.已知复数z＝(cosθ＋i)(2sinθ－i)是纯虚数，θ∈[0,2π)，则θ＝(

)A.

B.

C. D.参考答案：D3.“”是“函数在区间无零点”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A4.将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数f(x)的图像，则下列说法正确的是（

）A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)在区间上单调递增C.函数f(x)在区间上的最小值为D.是函数f(x)的一条对称轴参考答案：C【分析】由三角函数图象的伸缩变换及平移变换得f（x）函数解析式，再由三角函数图象及性质依次判断选项即可．【详解】=2cos（x+），将其向右平移个单位长度得函数解析式为h（x）＝2cos（x），再把得到的图象再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝f（x）的图象，得f（x）＝2cos（2x），则函数y＝f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x（k∈z），故A，D选项不正确，又当时，2x，函数不单调，故B错误，当时，2x，函数在x=时取得最小值为C正确，故选：C．【点睛】本题考查了三角函数图象的伸缩变换及平移变换，三角函数图象的性质，属于中档题.5.对函数f（x），如果存在x0≠0使得f（x0）=﹣f（﹣x0），则称（x0，f（x0））与（﹣x0，f（﹣x0））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=ex﹣a（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．[1，+∞）参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由方程f（x）=﹣f（﹣x）有非零解可得e2x﹣2aex+1=0有非零解，令ex=t，则关于t的方程t2﹣2at+1=0有不等于1的正数解，利用二次函数的性质列出不等式组解出a的范围．【解答】解：∵f（x）=ex﹣a存在奇对称点，∴f（x）=﹣f（﹣x）有非零解，即ex﹣a=a﹣e﹣x有非零解，∴e2x﹣2aex+1=0有非零解．设ex=t，则关于t的方程t2﹣2at+1=0在（0，1）∪（1，+∞）上有解；∴，解得a≥1．若t=1为方程t2﹣2at+1=0的解，则2﹣2a=0，即a=1，此时方程只有一解t=1，不符合题意；∴a≠1．综上，a＞1．故选B．6.随机变量的分布列如右表所示，若，则（

）－101

A．9

B．7

C．5

D．3参考答案：C7.斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D【分析】利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围．【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图形分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即，解得双曲线的离心率，故选D．【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的取值范围.8.设P(x,y)是函数图象上的点x+y的最小值为A.2

B.

C.4

D.参考答案：B略9.设角属于第二象限，且，则角属于（

）A.第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限参考答案：C略10.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，该几何体的左视图为（

）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．参考答案：略12.（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________。参考答案：2

13.函数,则的解集为

.

参考答案：14.的展开式中，的系数等于40，则等于

.参考答案：【知识点】二项式定理.J3【答案解析】1解析：解：因为展开式中的项为【思路点拨】根据题意写出特定项，直接求出a的值.15.已知函数f(x)=，若存在x∈N*使得f（x）≤2成立，则实数a的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，﹣15]

【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，运用基本不等式求得到成立的条件，再由x的范围，可得最小值，运用存在性问题的解法，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）≤2，即为≤2，由x∈N*，可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，由3x+≥2=12，当且仅当x=2?N，由x=2可得6+12=18；x=3时，可得9+8=17，可得3x+的最小值为17，由存在x∈N*使得f（x）≤2成立，可得2﹣a≥17，解得a≤﹣15．故答案为：（﹣∞，﹣15]．16.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴.若是角终边上一点，且，则______________.参考答案：略17.已知、均为锐角，且=.

参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；构造法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2kx﹣1=0．（*）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以?=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，难度中档．19.（本小题满分12分） 已知集合 （1）若求实数m的值； （2）设集合为R，若，求实数m的取值范围。参考答案：略20.（本题满分14分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．参考答案：（Ⅰ）………………2分

∵时，取得极值，∴………3分 故，解得， 经检验当时，在处取得极大值符合题意，∴……………4分

（Ⅱ）由知，由 得， 令， 则在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于在[0，2]上恰有两个不同的实数根． ………6分 当时，，于是在上单调递增；………………7分 当时，，于是在上单调递减；………………8分 依题意有

………………11分 解得， 所以实数b的取值范围是………………14分21.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线.（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（2）若射线(与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|.参考答案：（1），；（2）.【分析】（1）由曲线：(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得，的极坐标方程；（2）分别求得点对应的的极径，根据极经的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线：(为参数)可化为普通方程：，由可得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（2）射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（﹣4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为r．（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），由已知得，由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，由此能求出圆M的方程．（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r＞0恒成立，由此能求出存在两条直线y=3和4x+3y﹣9=0与动圆M均相切．解答：解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则kPA=，x≠﹣4，kPB=，x≠4，因为动点P与A、B连线的斜率之积为﹣，所以，化简得：，所以点P的轨迹方程为（x≠±4）…（6分）（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，…（8分）设M（a，2a+3）（a＞0），则⊙M的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a﹣3）2=r2，因为圆心M到y轴的距离d=a，由，得：a=，…（10分）所以圆M的方程为．…（11分）（2）假设存