2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(理科)试题答案详解版

r+1r+1年河南天一大考高三上）期数学试卷理）试题案解版一、选题（共12小）1设集合A[，）

，B[，3]

，则A＝（）C．[4﹣1]D．[43解：因为

，即

，解得﹣4＜3故集合A{|

﹣＜3}因为

，所以x﹣1故集合＝{|x﹣1}所以A＝[，3．故选：A2若+2＝3i

，则|z

＝（）A1B

C．

D．解：设z+bi则

，因为z＝3i

，所以a+（﹣bi＝﹣i

，所以3abi＝﹣i

，所以3a3﹣b﹣，所以a1b1所以zi

，故|z＝故选：B

．3已知A5

的展开式中有常数项，则n值可能是（）B67D．解：∵已知

的展开式中的通项公式为T＝

•x2n

r由于它的展开式中有常数项﹣r0＝rn2…，n故当r时，可得n6故选：B

＝，4如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，

其侧棱与底面所成的角为°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A

B

C．

D．解：塔顶是正四棱锥PABCD如图，正四棱锥的高，设底面边长为a底面积为，因为，所以，所以△是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．已知，则下等式：

a

a3b3．其中正确的是（）A①②

B③④

C．②③

D．①④

44解：因为所以

，所以ba0，故①正确；|b＞|a，故②错误；b

3

＞a

3

，故③错误；由指数函数故④正确，故正确的是①④．故选：D．

为减函数ba，6从4不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A

B

C．

D．解：根据题意，从4不同尺码的鞋子中随机抽取，有

8

3

＝取法，其中任意两只都不成双的情况有32×＝种，则这3鞋子中任意两只都不成双的概率＝故选：C

＝，7已知函f）（ω+ω＞），A是曲线y（）相邻的两个对称中心，点C是f（）A1B

（x的一个最值点，若△的面积为，则ω＝C．2D．π解：∵点A是曲线yf

（x相邻的两个对称中心，∴AB，点Cf∴三角形的面积S

（x的一个最值点，则△ABC的高为2＝1∴T，∴故选：D．

＝2∴ω＝，8函数xx+cos等式2m集）A

B

C．

D．解：f

（﹣x＝﹣x+＝f

（x，则f

（x是偶函数，f

xx

﹣﹣

x

﹣sin奇函数f

x]＝

+﹣

x

﹣sin≥2sin＞0即f

′（x为增函数，当x0时f

′（x＞f

′（0＝110，即f

（x在（0+）上为增函数，则不等式f

（2m＞f

（m2等价为不等式f

（|）＞f

（m），即2＞2|平方得＞m2﹣4+4即3m

+4m＞，得（m+2（3m2＞，得m或＜﹣2即不等式的解集为故选：A

，9在△ABC中，内角，B的对边，b依次成等差数列，△的周长为15且（sinB+cosCAsin，则cos＝（）A

B

C．

D．解：由于abc次成等差数列，所以可设abxdc+2d由于周长为15可得d5因为sin+sinC2B+sin2﹣Csin，即sin

2

+sinAB+sinBsin＝0所以由正弦定理可得a

+b

2

﹣c2

＝﹣ab可得C＝＝﹣，即＝﹣，将d5x入到上式中，解得：x3＝，∴a3b5＝7＝＝．∴由余弦定理可得：＝故选：B10已知点，B在半径为的球面上，且ABAC

，2

，

为球面上的动点，则三棱锥PABC积的最大值为（）AB解：在△ABC，由ABAC

C．，2

，

D．得A∴sin＝则2r

＝，，设△ABC外接圆的半径为r，即r，又三棱锥PABC的外接球的半径R5则球心到△ABC外接圆圆心的距离为．则当到平面ABC距离最大时，三棱锥﹣ABC体积最大，此时到平面ABC的最大距离为R+38三棱锥﹣体积的最大值为故选：A

．11已知点在直线3+﹣60运动，点B直线x3y＝上运动，以线段为直径的圆与x相切，则圆面积的最小值为（）A

B

C．

D．解：∵直线3x+y6与直线﹣3+80直，且交点为（1），∴以为直径的圆过点（，3，又圆C与x相切，∴圆C面积最小时，其直径恰好为点（1）到x轴的距离，此时圆的直径为3则圆面积的最小值为故选：C

．

12sin＝（）

﹣α＝cossin

β（+A1B

或1C

或1D．或﹣1解：∵sin

﹣α＝，

2α＝，∴

2﹣α﹣＝，8cosα+4cos﹣＝0又β

β，

2+cos21∴2β3，﹣＝，①若sin

＝β则α+＝

或，此时sin（+＝1②若sin

≠β则sin故sin

，β是方程β﹣，

﹣4x30根，同时，sin是方程x2

x30根，故sin

β﹣，故sin（+＝

cossin

β＝，故sin（+的值是1﹣，故选：C二、填空题13平面向量解：∵向量

，若，

，则λ＝．

∴﹣＝（，﹣1，λ+＝（2﹣，2）．∵解得λ＝，故答案为：．

，∴32﹣）﹣×（2）＝，14足约束条件解：由约束条件作出可行域如图，

的取值范围是．联立联立则

，解得A21，，解得B12，，

，令

，则≤t

≤2则

＝t+，t

＝1，取得最小值，t

＝或t

＝2，取得最大值为．∴

的取值范围是[2]故答案为：[2]15x

﹣a﹣1两个零点的取值范围是（1）．解：f

（x的零点个数等价于曲线＝ex|与直线y1交点个数，作出函数图象如图所示，

111211111211nnn由题意可知a1故答案为：（1+）．16设为双曲线

上的一个动点，点P的两条渐近线的距离分别为d和，则3dd的最小值为

．解：设点为（，n，则∴|m+n＝，

﹣n1即（﹣

n（mn＝2双曲线C的条渐近线方程为±

y0所以d＝

＝

，d＝

，所以3d+d＝×

＝

m

n

×2

＝2

，．当且仅当m＝，即|﹣所以3d+d的最小值2．故答案为：2

n＝

时，等号成立，三、解题：解答应出文字明，证明过或演算骤．第17～为必考题每个试题考生必须作第23题为考题考生根据要作答（一）必考题17已知数列{}项和为，且（Ⅰ）求数列{}项公式；

和

的等差中项为．

n4+1nn1111nnnn4+1nn1111nnnnnn1nn4nn111111（Ⅱ）设b＝log，求数列

的前n和T．解：（Ⅰ）由题意，可得

，整理，得S＝﹣2当n1，a＝＝﹣2解得a＝2当n2，由＝a﹣2可得S＝2﹣2﹣﹣两式相减，可得a＝2a﹣，﹣化简整理，得a＝2a，﹣∴数列{}2首项2公比的等比数列，∴，n*（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b＝log＝2+1则，

，∴T＝

+＝4（﹣）+4（﹣）…×（＝＝＝．

﹣）18图四棱柱﹣D的底ABCD为平行四边形＝＝5∠＝，＝DD，ECC的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE平面ADD；（Ⅱ）求直线AD和平BDE成角的正弦值．

11111111111111111111111111【解答】（I证明：由题意可得BD

＝2

+AB

﹣2×ADcosBAD16所以AD2

+BD2

＝AB2

，因⊥BD在直四棱柱ABCDCD中，DD⊥平面，所以DD⊥BD又因为ADDD＝DDD⊂面ADD，AD平面ADD所以BD平面ADD，因为BD平面，所以平面⊥平面

1（II解：由（I知，，，DD两两垂直，以D为原点DD所在直线为yz建立如图所示的空间直角坐标系．则D（，，0，（300，D（004，（040．由则设则

可得C﹣340，所以（﹣342．，，，是平面BDE的一个法向量，，令x2可得设直线AD和平面BDE所成的角为θ，则．

19某算法的程序框图如图所示，其中输入的变能是23…这24整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．（Ⅰ）当输入x和＝20，求输出值；（Ⅱ）求输出的的分布列；（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行次，输出y的值为1的次数分别为395402测他编写的程序是否正确，简要说明理由．解：（I当输入＝12时，因为能被3除，所以输出y1当输入x20，因为不能被整除，能被4除，所以输出y2（II122124这8数时＝1当x为，，，这4数时，输出＝2所以；

；

12121211221212121122．当x为其余12数时，输出＝3所以故y的分布列为：y12（III程序输出y值为，，3的率分别为

，，

3

，可近似地认为都是，与（II中所得的概率分布相差较大，故推测该同学编写的程序不正确．20已知椭的离心率为

，一个焦点坐标为

，曲C上任一点到点

和到直线

的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C和曲C的标准方程；（Ⅱ为CC的一个交点P作直线lC于点Q于点R且QR互不重合，若

，求直线l

与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆根据条件可知

，，且，解得a

2

＝12b

2

＝4所以椭圆C的标准方程为

，曲线C是以

为焦点，

为准线的抛物线，故C的标准方程为y＝9；（Ⅱ）联立，解得＝1y3不妨取（，），若直线l斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l

：ykx）+3由题意可知k0联立，解得，

0000000000联立

，解得，因为，所以是QR的中点，所以，即，解得＝1所以直线l方程为y+2其与x轴的交点坐标为（﹣20．21已知函数f

（x＝ln）+ag）＝

﹣

a

，a．（Ⅰa0y（x切线也是曲线＝（x的切线，证明：lnx+1＝．（Ⅱ）若g）﹣f（x≥，求a的值范围．【解答】证明：（Ⅰ）若a0则f（x＝ln），gx＝ex，∴，g（x＝ex曲线yx线方程为令，则，

．

，曲线

y＝（）在点，

处的切线方程为由题意知

，整理可得，x＝显然不满足，因此；解：（Ⅱ）令h）＝gx﹣f（）＝e﹣ln（x）﹣a

12与l和12与l和若a0h0＝eae00，不符合条件；若a0hx＝x

﹣ln（+1，，当x（﹣10时，'）＜0h）单调递减，当x（0+）时，h'

（x＞0h）单调递增，∴hx≥h0＝1符合条件；若a0则hx＝x﹣lnx）﹣＞﹣lnx）≥，符合条件．∴a取值范围是（﹣∞，0]选考题请考生在第，题中任选一题作，如果多做则按所的第一题计分．[选：坐系与参方程22在平面直角坐标系中，直线l

的参数方程为（t

为参数），直线l的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）设l

12

的夹角，求tan；（Ⅱ）设l

1

与x的交点为，l

2

与x轴的交点为，以A圆心AB为半径作圆，以坐标原点为极点正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l由参数方程知则

12

的倾斜角分别β和γ，．（Ⅱ）令，得，所以A10，令，得，所以B﹣20，所以圆的直角坐标方程为（﹣12+y2，即+22＝8所以圆的极坐标方程为ρ22θ8

选修4-5：等式选]23已知函数