山东省青岛市莱西第一中学北校2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省青岛市莱西第一中学北校2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若方程有两个实数根，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（

）A. B. C. D.参考答案：B3.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．2参考答案：C略4.如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C． D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．解答：解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+NF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+NF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．点评：本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题．5.设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的

（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略6.已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：A略7.函数的图像恒过定点A，若点A在直线且m,n>0则3m+n的最小值为（

）

A．13

B．16

C．11+

D．28参考答案：8.已知是函数图象上的任意一点，该图象的两个端点，点满足，（其中，为轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“级线性逼近”.现有函数：①;②；③.则在区间上具有“级线性逼近”的函数的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D9.（5分）（2015?万州区模拟）设复数z=（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2参考答案：【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：根据复数的基本运算，即可得到结论．【解答】：z===，若z为纯虚数，则且，解a=1，故选：C【点评】：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键．10.若不等式恒成立，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知中，弦,为直径.

过点作的切线，交的延长线于点，.则____.参考答案：略12.已知函数(为常数,)，且是方程的解．当时，函数值域为

．参考答案：略13.不等式组的解集为

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参考答案：14.（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是

（用数字作答）。特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。参考答案：；15.已知，是非零向量，若，，则与的夹角是_______。参考答案：16.若则＝________________.参考答案：17.设数列{an}满足：a1=1，an=e2an+1（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为．参考答案：﹣【考点】数列递推式．【分析】a1=1，an=e2an+1（n∈N*），可得an=e﹣2（n﹣1）.﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=的单调性，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵a1=1，an=e2an+1（n∈N*），∴an=e﹣2（n﹣1）．﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）?，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，∴h（x）min=h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）min=f（3）=﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）当a=1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．解答：解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，等价于①，或②，或③．解①求得x无解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，综上，不等式的解集为{x|0≤x≤}．（2）由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2=（a＞0），易得h（x）的最小值为﹣1，令﹣1≥0，求得a≥2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．19.如图，PD⊥平面，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长.参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到；（Ⅱ）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．（Ⅲ）设，则，从而，由（Ⅱ）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．【详解】（Ⅰ）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.由点和分别为和的中点，可得且，因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，，所以.（Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得，.设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得.，于是.所以，二面角的正弦值为.（Ⅲ）设，即，则.从而.由（Ⅱ）知平面的法向量为，由题意，，即，整理得，解得或，因为所以，所以.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20.某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．参考答案：【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴=，解得n=40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P=．21.(本小题满分14分)设函数

(Ⅰ)求的单调区间；

(Ⅱ)当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；

(Ⅲ)证明：当m>n>0时，.

参考答案：解析：（Ⅰ）①时，

∴在（—1，+）上是增函数

……………1分②当时，在上递增，在单调递减.…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减又

∴∴当时，方程有两解

………………8分（Ⅲ）要证：只需证只需证：设，

则

………………10分由（Ⅰ）知在单调递减