2020-2021学年安徽省合肥一中、六中、八中三校高一(上)期末数学试卷

𝐶，都有121220202021学安徽省合一中、六中八中三校高（上）期末数𝐶，都有1212学试卷一、单选题（本大题共12小题共60.0分已集，，2，(C.

，1，2，

B.D.

，1，

已知命题p：，

，则它的否定形式为)

，

B.

，

C.

，

D.

，

设，，”是“

”的)

充分而不必要条件C.充分必要条件若，x的是

B.D.

必要而不充分条件既不充分也不必要条件

B.

C.

5

D.

等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形最的三角形例，正五角星由5个金角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为的腰三角形如图所示在黄金三角形ABC中，.根𝐶这些信息，可求的为

B.

C.

D.

8,，足对任

成立那取值范围是

B.

C.

D.

已知

为数，么函的象不可能第1页，共页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋12已𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋12已𝜋𝜋B.C.D.

已知函的象过,，若要得到一奇函数的图象，则需将函数(的象C.

向左平移个单长度6向左平移个单长度

B.D.

向右平移个位长度6向右平移个单位长度

关于x的等式

的集,]，

的最小值是

B.

√6

C.

D.

6，(

，则(

𝜋6

B.

𝜋4

C.

𝜋

D.

𝜋设数的义域为若在常数使一切实数均立则称为倍约束函数”现出下列函数

；𝑖

是定义在的奇函数，且对一，均𝑥𝑥其是“倍约束函数”的B.C.2个D.个已定义在R上奇函数满足时函在间上个点，则的值范围

,

B.

C.

D.

第2页，共页

𝜋𝜋2Ⅱ求二、单空题（本大题共4小题，20.0分）𝜋𝜋2Ⅱ求已半径为r的形的积1周长为4则．已函数

2

2

的值域为R，实数的值范围是_____．若数，满足(2

，且，______．已函)的小正周期为𝜋若不式2恒立则实数取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，70.0分）已全，空集合

，

2

2)．当

2

时，求

；命p，题q，q是的要条件，求实数取值范围．已，．Ⅰ求𝑥的；𝑖𝑛2𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑡

的值．已函是义在实数集的奇函数，且时，2Ⅰ求的析式；

．Ⅱ若

在上成立，求的取值范围．已函

𝑡

，．Ⅰ当时写的调递减不必证，求(的值域；第3页，共页

𝜋3𝜋𝜋3𝜋Ⅱ设数(，若对任意，有𝜋]使，实数t

的取值范围．已函

．Ⅰ当

3

时，求在间上值域；Ⅱ当时，是否存在这样的实数，使方存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．

在区间内且有一个根？若已函𝜋,的象关于直线中心之间的距离为．Ⅰ求数的单调递增区间；

𝜋6

对称两相邻对称Ⅱ若𝜋]时，函有个不同的零，求取值范围

的值．第4页，共页

所以答案和解析所以1.

【答案【解析】解0，，2，𝐵0，，2，．故选：B．进行并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.

【答案D【解析】解：命题为特称命题，则其否定为全称命题，即，

，故选：D．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命是解决本题的关键，是基础题．3.

【答案【解析】解：因，以

，则“”是“

”的充分条件；当

时，当，时，则，所以；当，时，则，，所以“”是“

”的不必要条件；故“”是“

”的充分不必要条件．故选：A．分别利用充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到答案．本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的理解和应用，解题的关键是正确解充分条件和必要条件判定方法．4.

【答案【解析】解，

𝑙，，故选：B．利用对数的运算性质求解．本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．第5页，共页

𝐶2112𝜋𝜋，，𝐶2112𝜋𝜋，，，2𝜋𝜋

【答案C【解析】解：由图形知，，2

2𝐴𝐶

22

；42𝑠𝑖𝑛

2

2(24

4

；

4

．故选：．由题意求出，再计，而求得的．本题考查了三角函数的恒等变换以及解读信息与应用信息的能力，是基础题．6.

【答案C【解析】解函满对意

，都有

2

成立，函数为函数，则满足

，即

，2解得，故选：．根据函数的定义进行判断函数的单调性，结合分段函数的单调性建立不等式关系即可．本题主要考查函数分段函数的应用，根据函数单调性的定义判断函数的单调性是解决本题的关．7.

【答案【解析】解：当，

为偶函数，当且时

为减函数，非奇非偶函数，故A符，当时，

为奇函数，且函数为减函数，故C符合不符合，当时，

⋅𝑒

，且仅时等号，故D符，故选：B．分函数为偶函数、奇函数和非奇非偶函数，根据基本不等式和函数单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和单调性，属于中档题．8.【答案C【解析】解函的象过点,，

𝜋2

𝜋𝜋𝜋22

若要得到一个奇函数的图象，则需将函数(的象向左平移个位长度故选：．第6页，共页

222222222122𝜋𝜋𝜋,22由题意利用三角恒等变换，函222222222122𝜋𝜋𝜋,22本题主要考查三角恒等变换，函的图象变换规律，属于基础题．9.

【答案【解析】解的集为,，2的集,，2，是方的，故，，2

2√62，2当且仅当时“”成立，故选：B．根据根与系数的关系求出，

2

，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．本题考查基本不等式的应用、根与系数的关系，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10.【答案D【解析】解：因

𝜋12

𝑖

，所以

，所以𝛼

𝜋𝜋

；又

𝜋2

，所以

𝜋𝜋2𝜋

，所以

𝜋𝜋12

，解得

𝜋12

．故选：D．利用两角和的正弦、余弦公式和诱导公式，以及同角的三角函数关系，化简求值即可．本题考查了两角和的正弦、余弦公式和诱导公式，以及同角的三角函数关系应用问题，是基础．11.

【答案C【解析】解对于，由，时只，当时任恒立，故存在M符题意正确；当时，，意恒立，故存在M符题意，当时，，存在M符合题意，不确；当时，，，不存在这样的M故不确；是义R上奇函数，且对一，均|𝑥，只需即可，正．故选：．直接根据存在常，使对切实数均立，将选项中的函数代入寻找是否存在满足条件的M即．第7页，共页

本题主要考查了函数恒成立问题，以及新定义，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义本质，把新情境下的概念则算归到常规的数学背景中用相关的数学公式理质行解答即可，是中档题．12.

【答案【解析】解：由题意，函(为上奇函数，，且，又，是周期的周期函数．依题意，函在区间上2020个点，转化为与𝑖两函数的图象在区[上个交点，与两个函数的大致图象如下：结合图象可知，在区[上个函数的图象有个交点，在原点的右边的每个周期的区间可看成有交点，故

4

且

，故的值范围[,．故选：A．根据函数的奇偶性和周期性可得到函的致图象根据正弦函数的性质函的致图象，运用数形结合法可思考得到实数的值范围．本题主要考查函数的奇偶性，周期性的应用，以及三角函数的性质，考查了数形结合法的运用逻辑思维能力．本题属中档题．13.

【答案】1【解析】解：设扇形的圆心角，径为r，所以该扇形的面积为

，周长为𝑟；由解，．故答案为：1．设扇形的圆心角，径为r，扇形的面积和周长列方程求出r和的．本题考查了扇形的面积和周长的计算问题，是基础题．14.

【答案

4第8页，共页

2−22𝜋𝜋得：2[,，𝜋𝜋【解析】解：当2−22𝜋𝜋得：2[,，𝜋𝜋

2

时得舍去，；当

2

，

，2解得，综上得，故答案是：

因为函数值域为R，讨论二次项系数为，不成立，系数不为0时让系数大于且根的判别式大于等于0求范围即可．考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．15.【答案】9【解析】解：根据题意，函，满2

，令可：2，可，令可：−22，解可得，在(，令可：，解可，则+7，故答案为：9．在(

中可得的令可的中令可：，解可得(的值，而计的，即可得答案．本题考查函数值的计算，注意利用特殊值法求、、值，属于基础题．16.

【答案−

2【解析】解函𝜔，解得2cos(2，𝜋𝜋𝜋𝜋由32

𝜋

3(的小正周期为，cos(2，cos(231−，−令，则3,−，于是，

𝜋3

不等式

2

恒立，等价转化为√，

2

𝑡恒立

2

恒

恒成立，第9页，共页

𝑥或7全集，此能求出．𝑥时，𝑥|2𝑥，{𝑥|22𝑥或7全集，此能求出．𝑥时，𝑥|2𝑥，{𝑥|222由对勾函数的性质可

在区间上单调递增，当

时，𝑚𝑎𝑥

3

，22𝑎，𝑎2

2

，即实数a的取值范围是

2

，故答案为：

2

依题意可求𝑥)cos(2𝑥

𝜋6

1，𝑥)，𝑥)，[−√，𝑥)

2

𝑎[𝑥)恒立，等价转化为𝑡[，

2

𝑎恒立，分离参t，利用对勾函数的单调性可求得数a的取值范围．本题考查三角函数的周期性与最值，突出考查等价转化思想与不等式恒成立问题，考查逻辑推与运算能力，属于难题．17.

【答案】解𝑎时，𝑥|2𝑥

{𝑥|2𝑥，𝑥|(𝑥𝑥𝑥|𝑥全集，{𝑥|𝑥≤

2

(𝐴𝑥|𝑥；(2)命：，题q𝑥，是p的必要条件，．𝑎22𝑎𝑎，2𝑎2

2，𝑥|2𝑥，𝑥|(𝑥𝑎)(𝑥−𝑎2

{𝑥|𝑎𝑥2

，{

𝑎2𝑎22

，解得或𝑎，故实数取值范【解析】本题考查集合的混合运算，考查实数满足条件的取值范围的求法，解题时要认真审题注意集合的包含的合理运用．𝑎

由题p𝑥，题q𝑥，是p必要条件，由能求出实数的取值范围．18.

【答案】解Ⅰ𝑥𝑥

，(𝑥2

2𝑜𝑠𝑥

，𝑥𝑥

，第10页，共15页

，，2244+2×𝑥𝑥𝑥11，，，2244+2×𝑥𝑥𝑥11𝑖，，(

2

2

，𝑖𝑠．Ⅱ由𝑥，𝑥

3

，解得𝑥

，

，𝑎𝑥

𝑖𝑥

，𝑖𝑛2

44

𝑖𝑛2𝑥+2𝑖

55−2)

4

．【解析】Ⅰ先据𝑥的和二者的平方关系联立求得x值，再平方即可求出；Ⅱ结合Ⅰ求sinx，cosx的，最后利用商数关系求得tanx的，代入即可得解．本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的过程中要特别注意根据角的范围确定角函数值的正负号，属于基础题．19.

【答案】解Ⅰ因函数是义在实数集R上奇函数，所以，又当时，

，当时则，以

故(

，

,所以𝑥

．−2,Ⅱ若2

(上成立，即(2

2

，当时，

，所以不等式等价

2𝑥−𝑥𝑥𝑥

在上恒成立，令2

，，则

𝑥𝑥

2𝑡

，因为，当且仅当时等号，𝑡不等式恒成立即为

1在上恒成立，𝑡所以

，3𝑡故的值范围．3第11页，共15页

1𝜋𝜋𝜋𝑡𝑡【解析】Ⅰ利奇函数的性质得，再利与的系求时解析式，从而可得(的析式；1𝜋𝜋𝜋𝑡𝑡Ⅱ先行参变量分离后利用换元法将不等式转化为

𝑡

𝑡

在上成立用基本不等式求最值即可．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数解析式的求解、函数奇偶性的应用，不等式成立的解题关键是参变量分离，是中档题．20.

【答案】解Ⅰ当时

，的调递减区间√，调递增区间√

，当时，

，当且仅当，√时等号，当时，

⋅当且仅当，即时等号，故函数的域

；Ⅱ函数

𝜋3

，当𝜋]时，

,]，所以[，333设函数在上值域为，因为对任意

，𝜋]使得(，所以，又𝑡，

𝑡

，故𝑡[解得3𝑡，

𝑡

，当3𝑡时，

𝑡

在上调递增则有𝑡,

𝑡

，可得{

𝑡𝑡，得𝑡，所以3𝑡；当𝑡时

𝑡

⋅𝑡，且仅当𝑡时取等号，当𝑡即𝑡时，在上调减，所以

𝑡

,𝑡]，可得{

，得𝑡，𝑡所以𝑡；第12页，共15页

可得{𝑡)【答案】解Ⅰ当时，可得{𝑡)【答案】解Ⅰ当时，[．当且仅当{，即{，即．时，图开口向上，对称轴{，即{，即，

，即时，所以

，{

，得𝑡，所以当𝑡

，即时，所以，，解得，所以综上可得，的值范围[．【解析】Ⅰ直利用对勾函数的性质写出单调区间，利用基本不等式求出函数的最值，即可得答案；Ⅱ分求出函和(的域，将对任意，总，得，化为两个值域之间的包含关系，利用集合的包含关系求解即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了函数单调性的判断、方程恒成立的研究，同时考查了双勾数的性质以及利用基本不等式求最值问题，综合性较强，知识的涉及面较广．21.因为，

，Ⅱ由𝑥，即令(，，，原命题等价于两个函与的象[内唯一交点．当时在上减在上增，而，，函数的象内唯一交点．当时图开口向下称为的象内唯一交点，

上减在上增，．当

，在上减在上递增，与的象内唯一交点，

．第13页，共15页

，使函数222𝜋𝜋𝜋，解得，使函数222𝜋𝜋𝜋，解得𝜋𝜋,𝑘𝜋≤22𝜋𝜋𝜋2综上，存在实数

2

于在区间内且只有一个点．【解析】Ⅰ由意可得

33

，利用二次函数的性质即可求解其值域．Ⅱ函数在区间内且只有一个零点22等价2于两个函数(与的象内唯一交点，根据中a是否零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可．本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合与分类讨论的思想方法，属于综合题．22.

【答案】解：Ⅰ𝑠𝑠

2