2020-2021学年安徽师大附中高一(上)期末数学试卷-解析版

135220202021年安徽师大附中一（上）期末学试卷一、单项选择题（本大题共10小，共30.0分1352

设Q是两个集合义集合{果

，𝑖，

B.

C.

D.

已知，，

𝑥3

33

，则

B.

3

C.

3

D.

3

已知角的边与轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，终上的一点P原点的距离为，

𝜋

，则点P的标为)

B.

√

C.

√√

D.

若𝑥，且，角x是)

第一象限角

B.

第二象限角

C.

第三象限角

D.

第四象限角

已知函𝑥值范围

，则满足的数的

3

,

B.

C.

,3

D.

函数

2𝜋+2

在𝜋,𝜋]的图象大致)B.C.D.

已知，

则3

的最小值是

B.

√

C.

D.

√3

已知函若实函零点个数

B.

C.

D.

已知函

𝑖

，则的最大值为第1页，共页

̂𝑎]已̂𝑎]已，且，求

B.

C.

D.

已函，使成的x的33取值范围是

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共5小题，20.0分命“，”否定是．计

．如直eq\o\ac(△,)中，O为心OB为径作圆弧交A点若圆．弧度，则𝑡𝑎𝑛

等eq\o\ac(△,)的积设数

𝑎𝑎,，若关于的等的解集为∪，则𝑎______．用

表示函𝑛在区间I

上的最大值若数足

𝑎,2𝑎]

，则最大值．三、解答题（本大题共6小题，50.0分记数1

的定义域为集合𝑎𝑎的定义域为集合B．Ⅰ求合；Ⅱ若𝐵，实取值范围．𝜋𝜋𝜋𝜋333

的值．第2页，共页

,已函,𝑎当时函数恒有意义，求实数a的值范围；是存在这样的实数a函在间上减函数最值为1如果存在，试求出值；如果不存在，请说明理由．19.

我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口缺之痛”关乎产业安全国家经济安.如，我国科技企业在芯片自主研发之路中不断崛根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40美元，每生产部还需另投入美.该公司一年内共生产该款手机万并全部销售完，每万的销售收0入为万美元，{2

当公司一年内共生产该款手机部并全部销售完时，年利润为704万美元．写年利(万元关年产量万的函数解析式；当产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获的利润最大？并求出最大利润．第3页，共页

，，，当时恒有𝜋𝜋

已知函

𝑎𝑏

．求的表达式及定义域；若程有解，求实数t

的取值范围；若程𝑥的集，求实数的值范围．21.

已知函2sin(

𝜋

𝑐．当,时，恒立，求实数的值范围；是同时存在实数正整数函数𝑎在𝜋]上有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和n的；若不存在，请说明理由．第4页，共页

【解析】解：1，1𝜋𝜋𝜋答案和解【解析】解：1，1𝜋𝜋𝜋1.【答案】D【解析】解：，；{．故选：D根据定义，可求出，Q，然后即可求．考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以的定义．2.【答案】C𝑙𝑙𝑔133

2

，又由

，得

−𝑥

3

，

．故选：．利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．3.【答案】D【解析】解：设，由任意角的三角函数的定义得

，则；

，则．点P坐标故选：D设出P点，用正弦函数和余弦函数的定义结合的三函数值求得，值得答案．本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题．第5页，共页

2解：54.【答案】D2解：5【解析】解：，且，𝑥，又，角为四象限角，故选：D根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．本题主要考查三角函数角象限的确定三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．5.【答案】【解析】解：函数(

2𝑥

，可得在上调递增，可得(的最小值为1，由可得，2即有且22故选：B．判断(在上调增，可的小值为1由题意可，2，不等式得所求范围．本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查化简运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象与性质一可从函数的单调性偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．先利用诱导公式将函数化简

2𝑥

再断函数的奇偶性可除项A对比余下选项，可考虑

𝜋2

和𝜋时，与的大关系，得解．【解答】

2𝜋+2𝑠2

，第6页，共页

𝜋22√𝜋22√

𝑥sin(2cos(

𝑠𝑖𝑛2𝑐𝑜𝑠𝑥

，为函数，排除选项A，当时，𝑠𝑖𝑛>，𝑜，除选项，2当𝜋时𝜋)

𝜋0

，除选项，故选：D7.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数与对数的运算法则，基本不等式求最值，属于简单题．利用指数和对数的运算法则得，由基本不等式即可得出．【解答】解：

，⋅，2，．，，

2

⋅

，当且仅时等号．2故选：．8.【答案】D【解析】解：画出函数

2的图象，如图所示；22由函数(，出；又，则与由个点，第7页，共页

2令𝑠𝑖𝑛2转为𝑡2令𝑠𝑖𝑛2转为𝑡𝑠𝑖𝑛2故选：D画出函的象，结合图象令，；看时函数与交个数即可．本题主要考查了函数零点的判断问题考查了分段函数图象的画法与应用问题基础题．9.【答案】D【解析】解：

sin𝑖𝑛𝑥2

𝑠𝑖𝑛𝑥2

𝑖𝑛𝑥2

，令𝑠𝑖𝑛2，则

，由对勾函数的性质可

在上调递减，在上调递增，当时，，时，，所以函的大值为．故选：D

sin𝑖𝑛𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥2

由勾函数的单调性即可求得最值．本题主要考查三角函数的最值换元法的应用对勾函数的性质中档题．【案【解析】解：因为(

在R上调递增，由(所以

22

成得，

2

，解得，．故选：．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．【案，

2

2第8页，共页

02的积为，由题意得02的积为，由题意得2．故答案为：，

2

，2”的否是“，2”2020．根据特称命题的否定是全称命题，写出即可．本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．【案】【解析】解：原式2𝑔2

2𝑔2(12；故答案为2．将式子利用对数的运算性质变形，提取公因式，化简求值．本题考查对数的运算性质．【案】2【解析】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为2

2

，直角三角形POB中，，22

2

，𝑎𝛼2，

故答案为：．2设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求与的系，即可得出结论．本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用查学生的计算能力于基础题．【案】27【解析】解：函数(

2

𝑏，所以不等式可为2即，20又该不等式组的解集[，

202

，所以、6

2

𝑥的，且2是2的，第9页，共页

𝜋𝜋3𝜋𝜋𝜋9𝜋𝜋所以，，，𝜋𝜋3𝜋𝜋𝜋9𝜋𝜋所以．故答案为：．根据不等式的集得出对应方程的实数根，从而求出a、值，再计算本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．【案】．【解析】解：当

𝜋

时，𝜋]，𝑎

，，由

，得，时不成立；当,时，𝜋,，，

，由

，得

，即，所以

𝜋；当𝜋,

𝜋

时𝜋,𝜋]，

，

或1，由

，得1

，即𝑠𝑖𝑎且𝜋

，解得𝜋；当

3𝜋

,时，𝜋,，

，，合题意．综上，a最大值为．故答案为：．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件取值围，即可求得最大值．本题主要考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于中档题．【案】解：Ⅰ由已知得{

分Ⅱ由𝑥𝑥分{或分，，分【解析Ⅰ由数(

的定义域

，求出集合A；Ⅱ先出集合B，再由，实数a的值范围．本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意集合的性质和运算法则的灵活应用．第10页，共14页

17.𝜋𝜋𝜋𝜋已，．√17.𝜋𝜋𝜋𝜋已，．√，求𝜋2𝜋．𝜋𝜋𝜋𝜋33332633

，𝜋𝜋𝜋33且

𝜋𝜋𝜋23

的63

2333【解析题利用同角三角函的基本关系的利诱导公式、3两角和差的三角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．【案】解：由设3对一恒成立且，，3在上减函数，从而32𝑎，

，2的值范围为．2假存在这样的实数a由题设知，即

(3

，2此时22

，当时，没意义，故这样的实数不存在．【解析本题主要考查对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．对于是否存在问题，一般假设存在，推出结论，属于基础题．根题意：“时函恒意义”，即考虑到时−𝑎必须是正数，另外，题中隐含条件且也必须注意到；假存在这样的实数，再根是函数得最大值，求出的值，进而得出当时，没意义，即可得出结论．【案】解：由意可算出，则当时，

2

384，当时，

，第11页，共14页

．𝑚𝑎⋅．𝑚𝑎⋅{

𝑥当时，

𝑥

，当时，𝑚𝑎当时，

√

⋅，且仅当

即时，等号成立，即当时

，综上所述，时取得最大值为6104万美元，即当年产量为万部时在该款手机的生中所获得的利润最大润为万美元．【解析由意可算分分别求利(万关于年产(万部的数解析式，再写为分段函数的形式即可．当，用二次函数的性质求出的最值，当时𝑥，用基本不等式求出的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为W的大值．本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．【案】解：当时

．

𝑎𝑏

𝑎𝑥

2𝑥𝑏

，即𝑙，即

𝑏𝑎𝑏

，𝑎𝑏

⋅

𝑏

．整理得𝑎𝑏)

𝑎𝑏)恒立，𝑎𝑏又，即𝑎𝑏从𝑎𝑏．

，

，，，的义域为第12页，共14页

𝑛方程(𝑛即

𝑡

，𝑡

，，

，

，

，解得，𝑡，实t

的取值范围，方程(的集，

，

，

，方程的解集，故有两种情况：方方

解，，得，解，两根均[内

则

eq\o\ac(△,)

解得分{综合得实数的值范围是．【解析由知中函数，以构造一个关于a程组，解方程组求出a，，进而得到(的达式；由中数的达式，化为一个方程，分离参数，根的定义域即可求出．根对数的运算性质，可将方𝑥，化为一个关于x的式程组，进而根据方𝑥的集，方程组少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案本题考查的知识点是对数函数的图象与性质对数函