2020-2021学年上海市松江区高一上学期期末数学试题及答案

2020-2021学年上市松江区一上学期末数学试一、单选题1．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数答案：全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选.解：命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正故选：2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．

f

B．

2

C

．

f

,g

D．答案：两个函数要表示同一函数，需函数的三个要素相同，即只要定义域相同，对应关系都相同，两个函数就是同一函数，所以判断选项中两个函数的定义域和对应关系是否相.解：A.

f

lnx

的定义域是

，

的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；B.

f

的定义域是

的定义域是定义域不相同，不是同一函数；C.

f

的定义域是

的定义域是R，函数的定域不相同，不是同一函数；D.

x

，

f

，两个函数的对应关系相同，函数的定义域也相同，

b所以两个函数是同一函数.故选：b3．已知正数均不为1，“

”是“

3log3a

”的（）A．充分不必要条件B．必要充分条件C充要条件要条件答案：

D充又不必根据指数函数对数函数的概念，分析“

”与

log3ab

”的推出关系即可.解：由题意知，aa，当a

时，

loga

lg3lg3lglgb

成立，反之不成立，例如

,b满loglog3ab

,推不出

.故“3b”“故选：

logb33

”的充分不必要条件．4．知当x[0,1]时，函数

y

的图象与

的图象有且只有一个交点，则正实数m的取范围是A．(0,1]3,

B．

(0,1]C．2]答案：

D．(0,2][3,解：当0时，

，mx2

单调递减，且ymx2

2

，调递增，且

,1]，此时有且仅有一个交点；当m1时

1，y[,1]

上单调递增，所以要有且仅有一个交点，(m

m3选【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的

222图象，然后数形结合求解．二、填空题2225．已知集合

A

A

B

__________．答案：

先求集合

，再根据交集定义求

A

B

.解：

A

，所以

A

B故答案为：

6．若全集

U

1,0,1,2，所表示的集合为_________．答案：

解出集合，利用韦恩图可知阴影部分区域所表示的集合为A

，可得解解：因为全集

U

，AA由图可知，阴影部分区域所表示的集合为故答案为：

A

B7．函数

f

2x1

3

的定义域是__________．答案：

根据函数的形式，直接求函数的定义.解：根据函数的形式可知函数的定义域需满足x

，解得：

x

，所以函数的定义域是

.故答案为：

8．已知函数f

x

的图象经过

点，则

_______．答案：2根据题意求出得出fx)

；再求出

fx)

的反函数即可求解．解：因为函数f

的图象经过

点，所以

f

，即，fx)

x

，

()log(x

，即

f点评：本题考查反函数，属于基础题．9二法”求函数

3x

28区间

内的零点时

的中点

x1.5，f1

的下一个有零点的区间是__________答案：计算出

f得出结.解：

f

x2

x

，因此，

f

的下一个有零点的区间是

.故答案为：10．知函数

yf

是定义域为的函数，当时

，则当

时

f

__________．答案：

设，，代入的解式，由函的奇偶性即可求.解：设

，则

，由时

，所以

f

，又函数为偶函数，即

f

，所以

f

.故答案为：

11．知不等式ax

的集是

x

的解集是.

2222答案：根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值，再代入不等式bx2解集即可．解：因为不等式ax2x0的解集是

实数根为

和

，2b2a

5a

解得

a

；

不等式bx

为

0，6x

，解得

1，所以不等式2x的集是x31故答案为点评：本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．12若函数

x2xx2

（且的值域为

则数的取值范围是_________．答案：

1,2

当x时，y=﹣x+8≥6，x要使函数fx

（a且a）的值域为[6，+则有x时函数y=logx+5≥6a∴

a2

，解得1＜a≤2．∴实数的值范围是（，2]故答案为（，2]．13函数

yf

是定义域为R的函数

f

，则

__________．

答案：据题意可

f(x2)

有

f((xf(x)

函

f是周期为的周函数，结合奇函数的性质及周期可.解：因为

f

，所以所以

f(f((x)，f(2)f(x)

，即函数

f

是周期为4的期函数所以

f

,

ff(0)

,(1)f(2)f(3)f

,所

以

原

式

等

于12((49)(50)ff故答案为：1点评法睛在定义域R上满

f(x)(a)

知数图象关于

x对称，如果同时函数为奇函数，且关于直线对，可推出函数为周期函.14．知函数

yloga

的图像恒过定点A，若点A在一函数yx2

的图像上，其中

n

2，则的小值是__________．答案：可得定点

A

，代入一次函数得

，利用

122nn

展开由基本不等式求.解：由

ya

可得当

时，

y

，故

，点A在一次函数

y

2

x

的图像上，

，即

，0,

，2nm4mm2mnnmn

，当且仅当

1，m2

时等号成立，

tttt1,2故

2

的最小值是故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点，代一次函数得出，用“1”妙用求.15．知函数f(x)＝|x，g(x)－|x＋3|若函数f(x)的图像恒在函数图像的上方，则m的值范围________．答案：－，5)函数f(x)的图像恒在函数g(x)像的上方化不等|x－2|＋3|>m恒立，利用不等式的性质求|－2|＋|x＋3|最小值，就可以求出m的围解：函数f(x)的像恒在函数g(x)像的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对意实数x成立，即x－2|＋|x＋3|>m恒立．因为对任意实数x恒|－2|＋|x≥|(x－(x＋3)|＝5，所以m<5，m的值范围是(，故答案为：

(

.点评：该题考查的是有关利用两个函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利用绝对值不等式的性质求得结果，属于简单题.16最大整数存在实数t得同时成立，则正整数的大值___________．

，答案：4试题分析

t

3

，则

t

；

，则

t

5,5

；其中3

41.587,

51.495,

61.495

，由此可得

t

时，可以找到实数使2,3有公共部分，故n的最值为4取整函数三、解答题

.17．知

Axx

x，B{|x

axR}若A，求实数的值

答案：

或a首先求出集合，列出集合的子集，然后对集合B进讨论求解即可．解：

BA若

，

无解；若

，a

a

无解；若

，a

a

；若

，

a

；综上：

或a.点评：本题主要考查了由集合的包含关系求参数值，属于集合中常见题型．18．知x是理数，是无数，求证：x无理数．答案：证明过程见解.运用反证法进行证明即可.解：假设是理数不成立，即有理数，因为x是理数，所以

x

mn

是互质的整数，因为是理数，所以

pq

(p

是互质的整数)，因此

ppnmqqqn

，因为

mnp,

是整数，显然

pnqn

也是整数，故y是理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是理数．19．知幂函数f(x)m

m

在单调递增，函数

g(

．（1）求的；（2当

[1,2]

时，

f(x)

、

g()

的值域分别为A、B，命题p：A，命题：x

，若命题p是成的必要条件，求实数k的取值范围．答案）0）．2（1）解方程

m2

检验即得解；

（2）求出A[0,4]，

]

，解不等式组

124

即得解解）依题意得：∵

f(x

为幂函数，∴

m2

，∴m

或m

，当m时fxx

在单递减，舍去，当m

时，

f()

在

上单调递增，可取，所以m

.（2）由（）

f()

，当时，()[0,4]，[0,4]，当

1[1,2]时，(x)[]，B]2

，∵命题是成的必要条件，∴

B

，∴

124

，∴

0

12

，1∴k的值范围是[0,]．2点评：本题主要幂函数的定义和单调性，考查函数的值域的求法，考查指数函数的单调性和必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水.20给关于函数

f

的一些限制条件在

上严格减函数②

上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤的条件，补充下面的问题中：

f

，只在这些条件中，选择必需定义在上函数

f

满_（写你选定条件的序号

，求不等式

f

的解集．（1）若不等式的解集是空集，写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由（3）求解问题（）中选定条件下不等式的解集．答案：(1)③;(2)①；①⑤；②③；②⑤;(3)若择①

不等式的解集为

;若选择①⑤，不等式的解集为

;若选②

不等式的解集为

;若选②④⑤,不等f

的解集为

.（1）条件即

f

恒成立，由

，所以①，②不能选，由此可得答案

(2)只选①，②不能解出不等式，由奇偶性的对称性结论结合①，②中选一个单调性，再结合原点处的函数值可得答.(3)对2)中的各种情况由单调性合奇偶性分别解不等.解）若不等式

f

的解集为空集，即

f

恒成立由

，所以函数

f

不可能单调递增或单调递减，所以①，②都不能.选③④时，

f

的表达式为

f

，不等式

f

的解集为空集.所以选③④（2）若不等式

f

的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②⑤（3）若选择①③由

f

是奇函数，则

f又

f

上严格减函数，则

f

上严格减函数由

f

，则x

或

解得

或1x

，所以不等式

f

的解集为

若选择①④⑤，由

f

是偶函数，由

又

f

上严格减函数，则

f

上严格增函数由

f

，则

或

解得02且，所以不等式

f

的解集为

若选择②③由

f

是奇函数，则

f又

f

上严格增函数，则

f

在

上严格减函数由

f

，则或x解得0

或2

，所以不等式

f

的解集为

若选择②④⑤由

f

是偶函数，由

又

f

上严格增函数，则

f

在

上严格减函数由

f

，则

或

解得0x2且，所以不等式

f

的解集为

点评：关键点睛：本题考查利用奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是由奇偶性和单调性分析出所需的条件，利用当

f

是偶函数时，在对称区间上的单调性相反，当

f

是奇函数时，在对称区间上的单调性相同，解出不等式，属于中档.21已二次函数

f

若