山东省青岛市私立东方中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省青岛市私立东方中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示的方格纸中有定点，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由两角和与差的三角函数公式可得sinβ=﹣m，结合角β的象限，再由同角三角函数的基本关系可得．【解答】解：∵sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，∴sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sinβ=m，即sinβ=﹣m，又β为第三象限角，∴cosβ＜0，由同角三角函数的基本关系可得：cosβ=﹣=﹣故选B3.设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q参考答案：D略4.在曲线上切线斜率为1的点是

（

▲

）

A.(0,0)

B.

C.

D.(2,4)参考答案：B略5.已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩B为（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：B．6.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为A. B. C. D.参考答案：【知识点】双曲线、抛物线的几何性质.H6H7C

解析：根据题意得：解得：，则，所以抛物线方程为，故选C.【思路点拨】借助于题目的已知条件列方程组可解得p的值，进而写出抛物线方程即可。7.已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）A． B． C．π D．2π参考答案：B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；导数的几何意义．【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】根据条件求出a，b的值以及函数f（x）的表达式，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．则f（x）=x3﹣x2+ax，函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，因为原点处的切线斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，如图阴影部分表示，所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵kOB=﹣，kOA=，∴tan∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．8.如图所示的程序框图，若输入的n的值为1，则输出的k的值为(A)2(B)3(C)4(D)5参考答案：C略9.记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则当∠APB的最大时，cos∠APB为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最大时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D，如图所示，要使∠APB最大，则∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可．则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|===2，|OA|=1，设∠APB=α，则∠APO=，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．10.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1,2,3…，若，则的最大值是________________.参考答案：略12.不等式的解集是___________.参考答案：13.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是

.参考答案：414.若以双曲线－y2＝1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是

.参考答案：(x－2)2＋y2＝15.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两成60°，且PA=1，PB=PC=2，则该三棱锥外接球的表面积为

．参考答案：16.＝

．参考答案：由定积分的几何意义可知表示的为单位圆在第一象限内的面积，即由微积分基本定理可知所以

17.已知命题“若，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是．参考答案：题意即不等式在时有解.T令，则，又令，则的图像是直线，不等式

有解的充要条件是，或T，或T，或T-7<m<0，或-1<m<0T-7<m<0.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知△ABD和△BCD是两个直角三角形，∠BAD=∠BDC=，E、F分别是边AB、AD的中点，现将△ABD沿BD边折起到A1BD的位置，如图所示，使平面A1BD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCD；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1CD；（Ⅲ）请你判断，A1C与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明：EF∥BD，即可证明EF∥平面BCD；（Ⅱ）证明A1B⊥平面A1CD，即可证明平面A1BC⊥平面A1CD；（Ⅲ）利用反证法进行证明．【解答】（Ⅰ）证明：因为E、F分别是边AB、AD的中点，所以EF∥BD，因为EF?平面BCD，BD?平面BCD，所以EF∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面A1BD．因为A1B?平面A1BD，所以CD⊥A1B，因为A1B⊥A1D，A1D∩CD=D，所以A1B⊥平面A1CD．因为A1B?平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）结论：A1C与BD不可能垂直．理由如下：假设A1C⊥BD，因为CD⊥BD，A1C∩CD=C，所以BD⊥平面A1CD，因为A1D⊥平面A1CD，所以BD⊥A1D与A1B⊥A1D矛盾，故A1C与不可能垂直．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的判定，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.设函数(其中).（1）若对恒成立，求实数的取值范围；（2）当时,求函数在上的最大值.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）对恒成立等价于恒成立，记利用导数求单调区间，进而求函数最小值即可；（2）先证明当时,函数递减，当时,函数递增，则，利用导数证明即可.试题解析：(1)，记则在上是增函数，，。1令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,,所以即在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、最值，属于难题.求函数极值进而求最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小.20.（本小题满分10分）设函数f(x)＝|x－2a|，a∈R.（Ⅰ）若不等式f(x)＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f(x0)＋x0＜3，求a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由题意可得|x－2a|＜1可化为2a－1＜x＜2a＋1，即，解得a＝1.（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋x＝|x－2a|＋x＝，所以函数g(x)＝f(x)＋x的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，即a＜，所以a的取值范围为(－∞，).21.设函数为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为－12.(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在[－1,3]上的最值参考答案：解(Ⅰ)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c.∴c＝0，∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为，因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.∴a＝2，b＝－12，c＝0.

………………（5分）（Ⅱ）单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.………………（7分）

略22.在△ABC中，已知，.（1）求cosC的