(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试

一、选题1．

x

dx

（）A．

B．

3

C．

8

．

42．定积分A．

B

=C．

．3．若正四棱锥（底面为正方形，且顶在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45该正四棱锥的体积是（）A．

23

B．

C．

223

．

4234．如图，矩形

ABCD

的四个顶点

A(0,BC(Dfsinx

和余弦曲线

g

x

在矩形

ABCD

内交于点F，矩形

ABCD

区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．

B．

C．

．5．曲线

y

在点（，）的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．

．C．．6．已知

1

1)(x)dx0

，

,R

，则

的取值范围为（）0A．

,

B．

,

1,C．

,

[1,)

．

7．由曲线xy，直线yy

所围成的平面图形的面积为（）

yt12yt12A．

2

B．

4ln3

C．

4

．

3298．

1）A．

B．

4

C．

．

9．计算

的结果为（）A．

B．C．

23

．

5310．知

e

1x

，数f(

的导数

f

，若

f(x)在x

处取得极大值，则a的取值范围是（）A．

a

B．

C．a或

．

或11．维空间中圆的一维测（周长）

l

r

，二维测度（面积）S

r

2

，观察发现S

：三维空间中球的二维测度（表面积）r，维测度（体积）V

r

，观察发现

V

.则由四维空间中超球的维测度V

r

3

，猜想其四维测度）A．24r2

B．

r

C．

r

．2r412．知t＞，A．二、填题

（﹣），则t=（）B．2C．2或4．13．曲线

y

与直线

x0,xy0

所围成图形的面积等________．14．个函数与

y

，它们的图象及y轴成的封闭图形的面积______15．积分

21

2

__________.16．直线x，x，0，

围成的区域内撒一粒豆子，则落入，

，

y

围成的区域内的概率__________．．已知函数

f

tx32

在区间

上既有极大值又有极小值，则实数的值范围是_________．18．dx．

212119．线y

与直线

x2,

所围成的区域的面积_．20．线y

2

与直线

y2

所围成的封闭图形的面积______________.三、解题21．知函数fx)x

3

mx

2

（

）（）

f(x)

在

x

处取得极大值，求实数的取值范围；（）f

，过点P有只有两条直线与曲线

yf(x)

相切，求实数的.22．知函数f2aR.2(1)求数

f

的单调区间；(2)若于的等式

f

恒成立，求整数的最小值23．图计算由直线y6x曲线y以及x轴所围图形的面积．24．知曲线C

yx

3

x

2

x

1，点(,0)，过的线l与围成的图形的2面积.25．由抛物线

y2xy0)

与直线

xy0及所成图形的面.26．图，阴影部分区域是函数

图象，直线

y

围成，求这阴影部分区域面积。【参考答案】***试卷处理标记，请不要除

yxyyxy一选题1．解析：【分析】令y12，

x22

的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与轴

x

12

，轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即.【详解】解：令y

，则

2

2

的轨迹表示半圆，

120

2

dx

表示以原点为圆心，为径的圆的上半圆与轴，

x

12

，轴围成的曲边梯形的面积，如图：故

dx

OAB

扇形BOC

33.212故选：【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础.2．B解析：【解析】由意得3．B解析：【解析】

，故选设底面边长为a，依据题设可得棱锥的高

h

a2

，底面中心到顶点的距离

22

a，勾股定理可得

2a2a22

2

2

，解之得

，所以正四棱锥的体积2223

，故应选答案．

224．B解析：【解析】试题分析：阴影部分的面积

0

xxsinx)

24

4由几何概型可知：向矩形ABCD区内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

形BCD

，故选B考点：几何概型．5．A解析：【解析】试题分析：

y

x

x

y

，直线方程为yx

，与两坐标轴交点为

12考点：导数的几何意义及直线方程6．C解析：【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a与的量关系，然后设

，则ab

t2

，再然后根据构造法得出、

为程x

2

t12

xt

0

的根，最后根据判别式即可得出结果．【详解】10

(31)(xb

10

2bax

323aba2222

，即

32a

10

，设

，则

ab

tt1，a、为程2

xt

0

的根，有

312

t

0，得

t

19

或

t

，所以

b

,

[1,

)

，故选．【点睛】

11(1,0)11(1,0)本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．7．C解析：【详解】由，解得，解得yx

13

，

yyx

解得，围成的平面图形x的面积为S

，则

2

11

3x3

，

S3

，故选C.8．B解析：【分析】令12

3,(，表示以为心，以1为半径的圆的上半圆，再利用定积分的几何意义求解即.【详解】令12

,y，所以

2y2

，

(0)

，它表示以为心，以1为径的圆的上半圆，如图所示，

1

x0,y

和半圆围成的曲边梯形的面积，即个的面积由题得

个圆的面积为

.由定积分的几何意义得

1

.故选：

【点睛】本题主要考查定积分的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水.9．C解析：【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答.【详解】

dxx

12x)12333

，故选C.【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题.10．解析：【分析】利用积分求解出；据a的符号和与

之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到

f

的单调性，符合在

f

左增右减时的a的值范围是满足题意的，从而得到所求范围【详解】1edxxe1则f

，即

m当

或时，

f

不存在极值，不合题意当a时x

或

时，

f

单调递减

单调递增则

f

处取得极大值，满足题意当

0

时

或

x

时，

f

单调递增

单调递减则

f

在

处取得极小值，不满足题意当时

或

时，

f

单调递增x

单调递减

则

f

处取得极大值，满足题意综上所述：a或a【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调.11．解析：【解析】因为W，所以4，选答案．点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：W

14

，应选答案．12．解析：【解析】（2﹣）﹣，t若

x

)

t0

=t﹣，又t＞，得t=4．选D.二、填题13．【分析】根据定积分的几何意义得到S＝(ex＋x)dx由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积＝(ex＋＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析e【分析】

12根据定积分的几何意义得到积＝

10

(e

＋)d由顿莱布尼茨公式可得到答.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S＝

10

(ex＋)d＝

x

.故答案为

12【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求.14．【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详解】联立直线

yy与曲线的方程：解得对于令则结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部解析：

163【解析】【分析】首先联立两个函数方程求得交点坐标，然后结合题意和定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积【详解】1联立直线与曲线的方程：解得，对于

y

，令，

y

，结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：

y

y3

3

，故答案为

163

.【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．(1)画图形，确定图形范围；(2)解程组求出图形交点坐标，确定积分上下限；(3)确被积函数，注意分清函数图形的上、位置；(4)计定积分，求出平面图形的面积；2．由函数求其定积分，能用公式的利公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．有些由函数的性质求函数的定积分．15．【解析】分析：先化简再求定积分得解详解：由题=所以故填点睛：本题必须要先化简再求定积分因为不化简无法找到原函数

2211282211283解析：ln22【解析】分析：先化简

1

1

2

，再求定积分得.详解：由题得

1

1

2

=

1

111(dxx2)2(ln2)22

)

.所以

1

1

2

.故填

32

.点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函.16．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为解析：

1e【解析】由题意，直线

x0,y0,

所围成的区域为一个长为1

，高为的形，所以其的面积为

S

，又由，得，yxy所以由xyx

所围成的区域的面积为

(

x

dx

(

x

)dx

x

)1

，0所以概率为

SS

.17．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：

9【解析】f

tx

2

x

，由题意可得

f

在

在

有两个不等根，所以

32t

9，解得0，818．【解析】由定积分的几何意义由微积分基本定理：有定积分的运算法则可得：

111111解析：

2

【解析】由定积分的几何意义，

1

2

122

，由微积分基本定理：

x

，有定积分的运算法则可得：

1dx

2

.19．【解析】试题分析：故应填考点：定积分的计算公式及运用解析：【解析】试题分析：

,故应填

.考点：定积分的计算公式及运用．20．【解析】由解得或曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形解析：

【解析】2由，得或，曲yx

2

及直线

y2

的交点为

O

和A

因此，曲线y

2

及直线

y2

所围成的封闭图形的面积是

1x3

43

，故答案为.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：1）据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；2）方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；）具体计算积分，求出图形的面积．三、解题21．1）

；（）

。【解析】试题分析：1）据题设条件极值点即为到函数的零点建立方程，再借助有极值点建立不

2mx，得xx12mx，得xx13mm32等式；2）设切点坐标

Py00

，借助导数的几何意义求切线的斜率，进而求出曲线的切线方程，再将其转化为

关x的程x

mx2

两不的根

，最后构造函数转化为函数有两个零点问题求解。解：（）

f

2

2mx由f

4m2

12n0.

m，到m

f

2

f

由题

1

3

解得由②得

（）

由f所以

f因为过点

相切的直线有且仅有两条，令切点是

P00

，则切线方程为

0

0

0

由切线过点f0

0

0

00整理得

x

所以，关于的方程3mx2有两个不同实根.0

3

mx

2

h所以

m，且

或

m3由题，h或3m又因为所3mm以2解

,即所求

aaa22．当时

f

的单调递增区间为

，无减区间，当

a0

时，

f

的单调递增区间为

，单调递减区间为

1a

,

【解析】试题分析：(1)首对函数求导，然后对参数分类讨论可当a时

f

的单调递增区间为当

a

时，

f

1的单调递增区间为调递减区为aa(2)将问题转化为

2x

在

试题

x2x

的性质可得整数的最小值是2.(1)

f'

axx

2

，函数

f

的定义域为

当a时，

f'当a时，

f'

，则

或舍)，当0x

时，

f'

x

x

为增函数，当x

1a

时，

f'

为减函数，当

a

时，

f

的单调递增区间为

当a时，

f

1的单调递增区间为

，单调递减区间为,(2)解一：由

lnx

12

，x，原题等价于

a

2x

在

令

xx

，

2020则

g

，令

则由

h

12

，存唯一x0

,1x，2lnx0

.当00

时，

'

，

为增函数，当

x时，g'0x时，g0max1a，x0

202x0

10xx0

，又

x,1

，则

1x0

，由

Z

，所以

.故整数的最小值为2.解法二：

lnx

12

得，ax

2

，令

，g'

2x

，①a

时，

g'

，g

x

，

g

，该情况不成立.②

时，g'

2ax2x

x当

x0,

1a

时，

'

单调递减；当

x,

时，

g'

，

g

单调递增，gx

min

，g

恒成立

11aa

，

aaaa即

2ln

11aa

.令

h

1，显然ha

为单调递减函数由aZ，

，∴当a时，恒有

h

成立，故整数的最小值为2.综合可得，整数的最小值为2.点睛：导数是研究函数的单调性、极最值)最效的工具，而函数是中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)用导数求函数的最(极值，决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．23．

403【解析】【分析】画出函数图象，找到所围成区域，分割为两个区域，分别用定积分求其面积即.【详解】作出直线＝－，曲线＝

的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组与曲线y＝

得直线y＝－x交点的坐标(，直线y＝－与x轴交点坐标为6,0)．若选为分变量，所求图形的面积

1212S＝＋＝

68xdx＋2

＝

283

162

＝＋＝＋＝

.【点睛】本题主要考查了函数的图象，定积分求函数所围成区域的面积，定积分的计算，属于中档题24．

2732

.【解析】试题分析：先根据导数的几何意义求得曲线在点处切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，