ch1.11.电路的暂态分析(xiugai)

1.12.1

电阻元件、电感元件和电容元件1.12.3RC电路的暂态分析1.12.4

一阶电路暂态分析的三要素法1.12.5RL电路的暂态分析1.12电路的暂态分析1.12.2

储能元件和换路定则

电路的暂态分析前面讨论的是电路的稳定状态。所谓稳态是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流在给定条件下已达到某一稳定值。但是，当电路中含有储能元件(电感或电容)时，由于物质所具有的能量不能跃变，所以在发生换路时(指电路接通、断开或结构和参数发生变化)，电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态一般需要经过过渡状态才能到达。由于过渡状态所经历的时间往往很短，故又称暂态过程。本章先讨论暂态过程产生的原因，而后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。上式表明电阻将全部电能消耗掉，转换成热能。1.电阻元件1.11.1电阻元件、电感元件和电容元件iu+_R图中u和i参考方向相同，根据欧姆定律得出u=RiR=ui电阻元件的参数电阻对电流有阻碍作用将u=Ri

两边同乘以i

，并积分之，则得

R是耗能元件i安(A)韦伯(Wb)亨利(H)N+–u2.电感元件电感L

=iN

在图示

i、e假定参考方向的前提下，当通过线圈的磁通或

i发生变化时，线圈中产生感应电动势为d

dt

eL=Ndi

dt=LL+–ui–eL+

L称为电感或自感。线圈的匝数越多，其电感越大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。P>0,L把电能转换为磁场能，吸收功率。P<0,L把磁场能转换为电能，放出功率。

L是储能元件根据KVL可写出电压电流关系L+–ui–eL+或瞬时功率储存的磁场能在直流稳态时，电感相当于短路。伏(V)库仑(C)法拉(F)3.电容元件电容元件的参数iu+–C

当通过电容的电荷量或电压

发生变化时，则在电容中引起电流在直流稳态时，I=0，电容隔直流，电容相当于开路储存的电场能

C是储能元件tuCdd=tqidd=∵

L储能：不能突变Cu\∵C储能：由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变若发生突变，不可能！一般电路则1.11.2储能元件和换路定则1.电路中产生暂态过程的原因(电容电路)作用：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uC、iL初始值(t=0+)。

设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的瞬间

t=0+—表示换路后的瞬间（初始值）2.换路定则(电感电路)换路定则用公式表示为：3.初始值的确定求解步骤：作出t=0-的电路，求出

uC

(

0–)

、iL

(

0–)；若C、L已储能，且电路已处于稳态，则C——开路，L——短路。

2)根据换路定则知：

uC(0+)＝

uC(0-)、iL

(0+)=iL

(0-)将电容以电压为

uC(0+)的电压源，电感用电流为

iL

(0+)的电流源代替，作出t=0+的电路，并计算电路中其他量的初始值注意：换路前，若C、L未储能，且电路已处于稳态，则换路后的瞬间C——短路，L——开路。初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。

[例

1]

已知iL(0

)=0，uC(0

)=0，试求S

闭合瞬间，电路中各电压、电流的初始值。t=0+时的等效电路为uC(0+)=uC(0-)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0-)=0UR1R1u1(0+)=i1(0+)=Uu2(0+)=0uL(0+)=U[解]根据换路定则及已知条件可知，电路中各电压电流的初始值为SCR2R1t=0–

+ULuC(0+)u2(0+)R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)u1(0+)i1(0+)+–+–U+–+–+–iL(0+)=iL(0–)=0SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi在

t=0时将开关S合到1的位置。上式的通解有两个部分，特解和补函数特解取电路的稳态值，则补函数是齐次微分方程的通解，其形式为代入上式，得特征方程根据KVL，t≥

0时电路的微分方程为

1.12.3RC电路的暂态分析CuRiU+=CtCuuRC+=ddSCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi其根为特征方程

=RC

单位是秒，所以称它为RC电路的时间常数。通解设换路前电容元件已有储能，即uC(0+)=U0

，则A=U0–U，于是得t1-=-1=RCpCCCuuu¢¢+¢=ttAU-+=e1.12.3

RC电路的暂态分析若换路前电容元件没有储能，即uC(0+)=0，则上式(*)变为这种初始储能为零，由外加电源引起的响应，常称为RC电路的零状态响应。SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi

这种由外加激励和初始储能共同作用引起的响应，常称为RC电路的全响应。1.12.3

RC电路的暂态分析(*)uR–

USCRt=0–

+12–

++uCi

若在

t=0时将开关S由1合到2的位置，如右图。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初始储能引起的，故常称为RC电路的零输入响应。

电容两端的电压

uC

由初始值

U0向稳态值零衰减，

这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为

电路中

uR

和电流

i

可根据电阻和电容元件两端的电压、电流关系确定。1.12.3

RC

电路的暂态分析tuCuCUOu时间常数

=RC0.632UOuU0t0.368U0零状态响应SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi零输入响应uR–

USCRt=0–

+12–

++uCi0.368U越大，曲线变化越慢，达到稳态所需要的时间越长。时间常数的物理意义Ut0uc时间常数

=RC当

t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。(3)暂态时间理论上认为、电路达稳态工程上认为~

、电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U1.12.4

一阶线性电路暂态分析的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,其微分方程都是一阶常系数线性微分方程，这种电路称为一阶线性电路。则RC电路响应的一般式可写为：零输入响应：据经典法推导结果知：零状态响应：

全响应：稳态分量暂态分量

——代表一阶电路中任一电压、电流函数

——稳态分量

——

暂态分量若初始值为f(0+),式中,初始值--（三要素）

稳态值--时间常数--在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式为：

在一阶电路中，只要求出待求量的初始值、稳态值和时间常数这三个要素，就可以写出暂态过程的解。“三要素”的确定1)由t=0-

电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或(1)初始值

的计算

求换路后电路达到稳定后电路中的电压和电流：若电路中有电源，则其中C——开路,L——短路，

然后求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (2)稳态值的计算注意：在一阶线性电路中通常都是先计算储能元件电容的电压、电感的电流，再根据电路图求其它量

1)对于简单的一阶电路，R0=R;

2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路R0U0+-CR0

R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3

[例

1]

在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F

，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出变化曲线。

[解]

先确定uC(0+)uC()和时间常数

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+

t<0时电路已处于稳态，意味着电容相当于开路。2t=0S

[例

2]

在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F

，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出变化曲线。

[解]

先确定uC(0+)

uC()和时间常数

R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

[例

2]

在右图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F

，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出变化曲线。[解]–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1R2t(s)uC

(V)4O2uC(t)

变化曲线

VRt=0–

+U12–

+uR–

+uLiL在

t=0时将开关S合到1的位置，电感的初始电流为I0,则稳态时电流I=U/R.也具有时间的量纲，是RL电路的时间常数。S1.11.5

RL电路的暂态分析三要素法公式：代入得：其