初中数学人教版九年级上册第二十一章一元二次方程2解一元二次方程 全国公开课

21.2.1一元二次方程的解法------ 配方法第1课时 直接开平方法（一）学习目标1.了解形如的一元二次方程的解法——直接开平方法，能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解2．通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，体会由未知向已知转化的思想方法．（二）学习重点运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程．（三）学习难点通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．课前预习1.方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±92.如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（）A．3B．﹣3C．0D．13.方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，4.方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5.方程x2=2的解是．（五）疑惑摘要：预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨．1、典型例题例1．解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．例2．若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0例3．长沙市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m课后作业一、选择题1.下列方程能用直接开平方法求解的是()+2=0 +1=0 C.(x-2)2=4 +4=22.一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是()=4 =-4 +6=4 +6=-4，x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是()小于-1，x2大于3 小于-2，x2大于3，x2在-1和3之间 ，x2都小于34.关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2，则a的值为() B. D.±5.对形如(x+m)2=n的方程，下列说法正确的是()A.用直接开平方得x=-m± B.用直接开平方得x=-n±C.当n≥0时，直接开平方得x=-m±D.当n≥0时，直接开平方得x=-n±二、填空题6.若代数式(2x-1)2的值是25，则x的值为_______7.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成_______，开平方，得_______，则x1=_______，x2=_______.(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成_______，开平方，得_______，则x1=______，x2=_______.8.若a为方程(x-)2=100的一根，b为方程(y-4)2=17的一根，且a，b都是正数，则a-b=.9.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4，则=_______.三、解答题10.用直接开平方法解下列方程：(1)x2-25=0；(2)4x2=1；(3)3(x+1)2=；(4)(3x+2)2=25.11.已知方程(x-1)2=k2+2的一个根是x=3，求k的值和另一个根.12．某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％.从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.四、拓展提高如图所示，在长和宽分别是m、n的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.(1)用m，n，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当m=12，n=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.21.2.1一元二次方程的解法------配方法第2课时 配方法（一）学习目标1．探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．2．在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法．（二）学习重点1．用配方法解一元二次方程．2．正确理解把形的代数式配成完全平方式，不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．（三）学习难点化归思想的应用（四）课前预习1.将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32.若方程x2-mx+4=0的左边是一个完全平方式，则m等于()A.±2 B.±4 3.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是() B.-3 C.±3 D.以上都不对4.用适当的数填空：(1)x2-4x+______=(x-______)2；(2)m2±______m+=(m±______)2.5.若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______.6.用配方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0; (2)2x2-3x-6=0； (3)x2+x-2=0.（五）疑惑摘要：预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨。典型例题例1、用配方法解方程：（1）x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.例2、用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．例3、已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．课后作业一、选择题1.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（）A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=172.用配方法解方程x2-x+1=0，正确的是()A.(x-)2=1,x1=,x2=- B.（x-）2=，x=C.(x-)2=，原方程无实数解 D.(x-)2=，原方程无实数解3.若，那么p、q的值分别是（）=4，q=2=4，q=-2C.p=-4，q=2=-4，q=-24.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于() 或6 或-6 或-6填空题5．用配方法解一元二次方程x2+6x-11=0，则方程可变形为．6.一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a=．7．当x=时，代数式3x2﹣6x的值等于12．8.已知一元二次方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成．三、解答题9.用配方法解下列方程:(1)2x2+7x-4=0； (2)x2-2x-6=x-11；(3)x(x+4)=6x+12； (4)3(x-1)(x+2)=x-7.10.啦啦同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=-ca,第一步x2+x+()2=-+()2，第二步(x+)2=，第三步x+=(b2-4ac>0)，第四步x=.第五步(1)啦啦的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=______(2)用配方法解方程：x2-2x-24=0.11.若要用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘米的矩形方框，则应该怎样折呢？12．阅读下面的材料并解答后面的问题：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：（1）小华的求解过程正确吗？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．拓展提高通过对上述12题的练习，试回答：①当x=时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？2.试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？21.2.2一元二次方程的解法------公式法第1课时 公式法（一）学习目标1、掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．2、通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性.通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．（二）学习重点1、求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．2、对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解,掌握一元二次方程的求根公式，（三）学习难点求根公式的推导及应用求根公式法解简单的一元二次方程．（四）课前预习1.一元二次方程的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2.若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．B．C．D．4.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_____________.5.用公式法解下列方程（1）；（2）.（五）疑惑摘要：预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨.典型例题例1、已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C.两个根都是自然数D．无实数根例2、若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1B．1C．﹣4D．4例3、用公式法解下列一元二次方程：（1）x2+2x﹣2=0（2）y2﹣3y+1=0（3）x2+3=2x课后作业选择题1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=02．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．2等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或104．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A．B．且C．D．且二、填空题6．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．7.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则系数a,b,c之间满足何种等量关系:．8．已知关于x的一元二次方程kx2－（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是．三、解答题9.用公式法解方程：(1)2x2﹣4x=5．(2)2x2﹣2x﹣5=0．(3)x（x）=4．10．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．11．试证明：关于x的方程（a2－8a+20）x2+2ax+1=0，不论a取何值，该方程都是一元二次方程．四、拓展提高12．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．13.解关于x的方程2x2+（3m－n）x－2m2+3mn－n221.2.3一元二次方程的解法------因式分解法（一）学习目标1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会“降次”化归的思想.解决问题使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．（二）学习重点1、应用分解因式法解一元二次方程．2、灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程，让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．（三）学习难点十字相乘法解一元二次方程．课前预习1．方程（2x+1）（x-5）=0的解是_________2．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是___________3．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，24．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）A．（x+5）（x-7）=0B．（x-5）（x+7）=0C．（x+5）（x+7）=0D．（x-5）（x-7）=05．已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）A．只有一个根x=B．只有一个根x=0C．有两个根x1=0，x2=D．有两个根x1=0，x2=-6．解方程2（5x-1）2=3（5x-1）的最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．分解因式法（五）疑惑摘要：预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨．典型例题例1、用因式分解法解方程：（1）2(2x－1)2=(1－2x)（2）4(y＋2)2=(y－3)2.例2、解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．例3、选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．课后作业一、选择题1.方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（）A.B.C.D.2.方程x2﹣2x=3可以化简为（）A．（x﹣3）（x+1）=0B．（x+3）（x﹣1）=0C．（x﹣1）2=2D．（x﹣1）2+4=03.下列方程中，不适合用因式分解法的是()A.B.C.D.4．实数a、b满足（a+b）2+a+b-2=0，则（a+b）2的值为（）A．4B．1C．-2或1D．4或15.已知方程的一个根为-1，那么方程的根为()A.B.C.D.以上答案都不对二、填空题6.如果，则的值为__________________.7.以1和—3为两根的一元二次方程是______________.8．解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程．9．已知y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0；当x=________时，y的值等于24．10．已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为．三、解答题11．解下列方程：（1）x2﹣2x+1=0（2）x2﹣2x﹣2=0（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．12．选择合适的方法解下列方程.（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；（4）x2﹣2x+1=0．13．为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1=y，则（x2﹣1）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，x2=2，x=±．当y=4时，x2﹣1=4，x2=5，x±．故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．请借鉴上面的方法解方程（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0．四、综合拓展1.已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．2.已知一元二次方程（ab－2b）x2+2（b－a）x+2a－ab=0有两个相等的实数根，求的值．21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（一）学习目标1、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2、培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；（二）学习重点1、根与系数的关系及其推导．2、正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。（三）学习难点公式的各种变形（四）课前预习1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．B．﹣C．﹣D．2．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4B．﹣4C．3D．﹣33．（2014•浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（）A．x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1•x2=1C．x1+x2=3，x1•x2=﹣1D．x1+x2=3，x1•x2=14．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣35．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=06．（2015春•遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=，m+n=．（五）疑惑摘要：预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨。典型例题例1、已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．例2、已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有