新人教版八年级下册一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数图象和性质一知要：1、一次函数：形如y=kx+b0,k,b为数的函数。注意：（）≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1（）b=0时，y=kx，y叫x的比例函数。2、图象：一次函数的图象是一直线，两个常有的特殊点：与y轴交于0，b）；与x交于-，）由图象可以知道，直线y=kx+b与直y=kx平，例如直线y=2x+3与线y=2x-5都与直线平。3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性时，y随x增而增大时，y随x增而减小4．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种由已知函数推导或推证由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。用待定系数法求函数解析式。1“待定系数法的本思想就是程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题过引入一些待定的系数，转化为方程（组决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：①利用一次函数的定义构造方程组。利用一次函数y=kx+b中数项b恰函数图象与轴交的纵坐标b来点；直线平于y=kx，即由定方向。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。利用题目已知条件直接构造方程二例举：例．知y=，中=(k≠0的常)，正比例。

与

成正比例，求证y与x也证明：∵设

与=a

成正比例，(a≠0的数,∵∴

,·

=(k≠的常)=akx，其中ak≠0的常，∴与x也成正比例。例．已知一次函数

=(n-2)x+-n-3的图象与y轴点的纵坐标-，判断=(3-)置及增减性。

是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位解：依题意，得解得，∴=-3x-1,2=(3-)x,

是正比例函数；=-3x-1的象经过第二、三、四限，=(3-)x的图象经过第一、三限，

随x的增大而减小；随x的大而增大。说由于一次函数的解析式含有待定系数求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。例．直y=kx+b直线y=5-4x平，且与直线y=-3(x-6)相，交点在y轴，求此直线解析式。分析直线y=kx+b的位置由系数k来决来方向b来与y轴交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等例y=2x,y=2x+3的图平行。解：∵y=kx+b与y=5-4x平，∴k=-4,∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相于轴，∴b=18，∴。说：次函数y=kx+b象的位置由系数k、来定：由k来方向，由b来定，即函数图象平行于直线，过0,点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。例．直与x轴于点（-4，）与轴交点B，点B到x轴距为，求直线的解析式。解：∵点B到x轴距离为2，∴点B的标为（，±）设直线的解析式为y=kx±2,∵直线过点A（-4，），∴0=-4k±解得：k=±,∴直线AB的解式为

或y=-x-2.说：例看起来很简单但实际上隐含了很多推理程这些推理是求一次函数解析式必备的。3图象是直线的函数是一次函数；直线与y轴交B点，则点B（，点B到x轴离为2，||=2

）；（）B的坐标等于直线解式的常数项，即b=

；（）知直线与y轴点的纵标

，可设y=kx+

，下面只需待定k即。例．已一函数的图象，交于（-60），交正比例函数的图象于点B且点B在三象限，它的横坐标-，△AOB面积为6方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。分析：自画草图如下：解：设正比例函数y=kx，一次函数y=ax+b，∵点B在三象限，横坐标-，设B（-2，

），其中<0，∵∴∴

=6，AO·=-2，

|=6，把点B（-2，）入正比例函y=kx得k=1把点A（-6，）、B（-2，）入y=ax+b得解得：∴y=-x-3即所求。说：）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；4（）例需要把条件（面积）转化为点B的标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO（点B作BDAO于D计算出线段长，利||=BD及点B在第三象限计算出=-2。去掉第三象限的条件，想一想点B的置有几种可能，结果会有什么变化答两种可B可在第二象-2果增加一组y=-x,(x+3).例．知正比例函数y=kx(k<0)图象上的一与原点的距离等于13过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。分析：画草图如下：则OA=13，=30，则列方程求出点A的标即可。解1设图象上一点（x,）满足解得：；；；代入y=kx(k<0)得

,k=-.∴x或y=-

x。解2设图象上一点（a,）满足5由（2）得=-,代入（），得1+

)·)=.整理，得60解得k=-

+169k+60=0.或k=-.∴y=-

x或y=-

x.说：于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，中k为定系数，故解此例的关键是构造关于k的方此给出的两个解法代表两种不同的思路法1是已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标造方程解出再解法2是进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于k的方程组，解题时消去a，求出k值例．在直角坐标系x0y，一次函数y=x+

的图象与x轴y轴分别交于、B两，点C坐为10），D在x轴，且BCD=，求图象经过B、D两的一次函数的解析式。分：已知可得A点坐（-30B点（，点是确的（0，解题的关键是确定点D的标，由点上，以BCD=∠的件，结合画草图可知∠BCD的边BC确，顶点C确，但边CD可有两个方向，即点D可在C点侧，也可以在C点侧，因此解此题要分讨论。解A分是直线y=x+∴（，），B（，）

与x轴和y轴交点，∵点C坐（，）勾股定理得BC=设点D的标为（），（）点D在C点侧，即时，

，AB=，6∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，∴△BCD∽△，∴=∴=---①∴=∴-22x+5=0∴=,x=,经检验x=,x=,都是方①的根。∵,不合题意，∴舍去。x=，∴点标为（,0）。设图象过B、两点一次函数解析式为y=kx+b∴∴所求一次函数为x+（）点D在C左则x<1，可证△∽△ADB，∴∴---②∴-18x-5=0∴=-,x=,7经检验x=-

,x=,都是方程②的根。∵=

不合题意舍去，x

,∴点标为（

,0），∴图象过B、（,0）两点一次函数解析式为y=4x+综上所述，满足题意的一次函数为x+

或y=4x+.例．已知：如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分交于A、B两，点C（，）AB的垂线交AB于点，交轴于点D求点D、E的坐。解：直线y=x-3与x轴交点A，），与轴于点B（，-3），∴OA=6，OB=3，∵⊥，⊥，∴∠ODC=∠OAB，