高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点 新人教A必修1

3.1.1方程的根与函数的零点.思考1：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？.

函数的图象与X轴的交点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3.∆=b2-4ac∆>0∆=0∆<0ax2+bx+c=0的实根有两个不等的实根x1,x2有两个相等的实根x1=x2无实数根无交点y=ax2+bx+c图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的关系..思考2：一般地，方程f(x)=0与函数y=f(x)对上述关系适应吗？

结论方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点.讲授新课对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.一、函数零点的概念：注意：1、函数的零点是一个实数，而不是点。2、函数的零点就是对应方程的根。.探究1如何求函数的零点？.探究2零点与函数图象的关系怎样？探究1如何求函数的零点？.方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点探究2零点与函数图象的关系怎样？探究1如何求函数的零点？.对零点的理解：(1)

"数"的角度：(2)

"形"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标求函数零点的方法：(1)方程法：(2)图象法：解方程f(x)=0,得到y=f(x)的零点画出函数y=f(x)的图象,其图象与x轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点.例1、求下列函数的零点：（1）;（2）..探究3二次函数的零点如何判定?.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac.探究3二次函数的零点如何判定?.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac.判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0＝0＜0探究3二次函数的零点如何判定?.判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0两不相等实根＝0＜0探究3二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac..判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0两不相等实根两个零点＝0＜0探究3二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac..判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0两不相等实根两个零点＝0两相等实根＜0探究3二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac..判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0两不相等实根两个零点＝0两相等实根一个零点＜0探究3二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac..判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0两不相等实根两个零点＝0两相等实根一个零点＜0没有实根探究3二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac..判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0两不相等实根两个零点＝0两相等实根一个零点＜0没有实根0个零点探究3二次函数的零点如何判定?对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程ax2＋bx＋c＝0

，其判别式＝b2－4ac..x探究4yO计算f(―2)f(1)的乘积，比较这个乘积与0的大小关系？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？.判断下列函数有几个零点.思考若一个函数在区间[a,b]上满足以下两个条件，那么这个函数在区间(a,b)内是否一定有零点？1、图像是连续不断的曲线2、

f(a)·f(b)＜0.二、零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根..注意讨论

如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)·f(b)＜0？1、图像是连续不断的曲线2、

f(a)·f(b)＜0.1．函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)内(

)A.至少有一个零点B.至多有一个零点C.只有一个零点D.有两个零点练习A.由表得f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。

由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区间是（2，3）解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象

－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例2、判断函数f(x)=lnx+2x－6是否有零点，若有，求零点个数及零点所在的大致区间。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219.

通过数形结合，把原函数的零点个数问题，转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交点个数问题.

6Ox1234yy=lnxy=－2x+6拓展提升：你还有其它办法来确定函数f(x)=lnx+2x－6零点的个数吗？

.B练习.课堂小结通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要