问题与数学方法课件

问题与数学方法

徐亚平

2013年8月2/4/20231计算机科学与工程学院

问题与数学方法课程说明

1.目的：了解应用数学思想和数学方法解决实际问题的方法，培养对数学的兴趣和应用数学方法分析解决实际问题的能力。

2.基本内容：

数学思想方法

数学文化

数学与数学思想

数学认识的特殊性

数学思想在人类文明中的作用

线性方程组问题与高斯消元法

线性方程组问题举例

高斯消元法与高斯

不规则图形面积问题与积分法

圆周率计算与祖冲之

不规则图形面积计算与牛顿

2/4/20232计算机科学与工程学院明确关系问题与插值及最小二乘法

明确关系问题举例

确定关系的插值法与拉格朗日

确定关系的最小二乘法与高斯

生产计划问题与线性规划法

生产计划问题举例

生产计划问题的数学模型

线性规划法解法简介

图论问题与图论方法

图论问题举例

图论问题的数学模型

高次代数方程求根问题与矩阵特征值

代数方程求根问题与高斯

矩阵特征值问题

求矩阵特征值方法

高次代数方程的根与矩阵的特征值2/4/20233计算机科学与工程学院非线性方程求根问题与求根方法

非线性方程求根问题举例

非线性方程求根方法思想

数学难题

希尔伯特和他的23个问题

近代三大数学难题

本世纪七大数学难题

以计算机为工具的数学方法

计算机的特点与应用

计算方法—在计算机上实现计算的基础

算法与程序

2/4/20234计算机科学与工程学院3.基本要求：

到课并认真听课

完成课程要求的作业

4.教学方式：

课堂讲授+大作业

5.大作业（二选一）：

我与数学

我的专业与数学

用数学方法分析解决实际问题举例

对该课程的建议

6.考核：

考勤50%

作业50%

2/4/20235计算机科学与工程学院第0章

数学思想方法

内容提要数学文化数学与数学思想数学认识的特殊性数学思想在人类文明中的作用2/4/20236计算机科学与工程学院数学文化狭义定义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。广义定义：除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述和从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。《数学文化学》的著作以及许多的论文，把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。数学文化进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。在中国，据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。数学文化半个多世纪以前，数学家柯朗在名著《数学是什么》的序言中写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长(1912—2010，江苏无锡人，中国近代力学之父，世界著名的科学家、教育家，上海大学校长)的文章中提到：“应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”数学文化和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，本应是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。总之，当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。数学在人类文明中的作用

数学与自然科学：在天文学领域里，在第谷·布拉埃观察的基础上，开普勒提出了天体运动三定律：（a）行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（b）从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过的面积是F(如图)。（c）行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道C的半长轴的立方成正比。开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人，他使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学。这一定律出色地证明了毕达哥拉斯主义核心的数学原理。我们的太阳系我们的太阳系2/4/202313计算机科学与工程学院开普勒开普勒第一定律

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上行星的运动

仔细观察地球绕太阳转动模型图，你得了到什么？快慢：近日点运行快远日点运行慢开普勒开普勒第二定律

对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积行星的运动开普勒开普勒第三定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值（k）都相等行星的运动开普勒第三定律（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。ab数学在人类文明中的作用

爱因斯坦的相对论是物理学中，乃至整个宇宙的一次伟大革命。其核心内容是时空观的改变。牛顿力学的时空观认为时间与空间不相干。爱因斯坦的时空观却认为时间和空间是相互联系的。促使爱因斯坦做出这一伟大贡献的仍是数学的思维方式。爱因斯坦的空间概念是相对论诞生50年前德国数学家黎曼为他准备好的概念。在生物学中，数学使生物学从经验科学上升为理论科学，由定性科学转变为定量科学。它们的结合与相互促进已经产生并将继续产生许多奇妙的结果。生物学的问题促成了数学的一大分支——生物数学的诞生与发展，到今天生物数学已经成为一门完整的学科。它对生物学的新应用有以下三个方面：生命科学、生理学、脑科学。在化学中……数学在人类文明中的作用

如果说在自然科学中，更多的是运用数学的计算公式及计算能力；那么在社会科学的领域中，就更能体现出数学思想的作用。数学与社会科学：在政治中不能不提的便是民主，而民主最为直接的表现形式就是选举。而数学在选票分配问题上发挥着重要作用。选票分配首先就是要公平，而如何才能做到公平呢？1952年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理——阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统。这就是说，只有相对合理，没有绝对合理。原来世上本无“公平”！阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。数学在人类文明中的作用

投票悖论：有甲乙丙三人，对ABC三个备选方案有偏好排序：甲（a>b>c）；乙（b>c>a）；丙（c>a>b）1、若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲(a>b);乙(b>a);丙(a>b);社会次序偏好为（a>b）2、若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲(b>c);乙(b>c);丙(c>b);社会次序偏好为（b>c）3、若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲(a>c);乙(c>a);丙(c>a);社会次序偏好为（c>a）于是得到三个社会偏好次序—(a>b)、(b>c)、(c>a)，其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c，而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。数学在人类文明中的作用

公理公理1：个体可以有任何偏好；每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择（数学上称为原则U—无限制原则）。公理2：不相干的选择是互相独立的；（数学上称为原则I—独立性原则）。公理3：社会价值与个体价值之间有正向关联；（数学上称为原则P—一致性原则：就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。）公理4：没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。（数学上称为原则D—非独裁原则)阿罗证明了，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则（称为“社会福利函数”）。数学在人类文明中的作用

能不能设计出一个做出合理决策的投票方案呢?阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序的多数规则的投票方案。简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。这个结果是令人震动的：一个社会不可能有完全的每个个人的自由——否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济——否则将导致垄断。人们对社会的认识达到一个新的高度。因此阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥。事实上，阿罗的不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战，可以说是无懈可击的，于是阿罗不可能定理似乎成为规范经济学发展的一个不可逾越的障碍。数学在人类文明中的作用

在经济学中，数学的广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的变革之一。现代经济学的发展对其自身的逻辑和严密性提出了更高的要求，这就使得经济学与数学的结合成为必然。首先，严密的数学方法可以保证经济学中推理的可靠性，提高讨论问题的效率。其次，具有客观性与严密性的数学方法可以抵制经济学研究中先入为主的偏见。第三，经济学中的数据分析需要数学工具，数学方法可以解决经济生活中的定量分析。1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题。1951年美国经济学家T.C.库普曼斯（1910-1985)把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖（63岁的康托罗维奇在领取该项奖金时发表了《数学在经济中的应用：成就、困难、前景》的演讲，他表示：“数学方法在经济中的应用不会辜负我们对它所抱的希望，它会给经济理论和实际工作做出重大的贡献。”）。数学在人类文明中的作用

在人口学、伦理学、哲学等其他社会科学中也渗透着数学思想……数学作为一种工具，对于每一个人而言，都是必不可少的！数学文化小结狭义定义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。广义定义：除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。进入21世纪之后，数学文化已走进中小学课堂，渗入实际数学教学，使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动，真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”数学在人类文明中的作用小结

在天文学领域里，在第谷·布拉埃观察的基础上，开普勒用数学公式描述天体运动的三定律，使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学。在物理学中，以数学理论为基础的爱因斯坦的相对论改变了人们的时空观，是整个宇宙的一次伟大革命。在社会学中，数学家阿罗的不可能定理即不可能找到一个公平合理的选举系统。说明，只有相对合理，没有绝对合理。成为数学应用于社会科学的一个里程碑。数学数学源自于古希腊语的μθημα（máthēma），其有学习、学问、科学之意，以及另外还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。分为初等数学和高等数学。它在现代生活中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正成熟了。在现代科学中，运用数学的程度，已成为衡量一门科学的发展程度及其理论成熟与否的重要标志。数学无论自然科学、技术科学或社会科学，为了要对所研究的对象的本质获得比较深刻的认识，都需要对之作出量的方面的刻画，这就需要借助于数学方法。数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具.现代科学技术特别是电子计算机的发展与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成.数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。基本的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。数学思想——函数与方程函数思想：是通过提出问题的数学特征，建立问题的数学模型（用数学的形式或语言表示或描述该问题）—函数，利用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的数学方法。

函数描述了自然界中相关事物之间的数量关系，经常利用的性质有：f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。例如，如果事先可以知道某一时间段内，时间和温度之间的变化关系y=f(t),则由f(t)的单调性可知温度的升降时间段，由f(t)的最大值和最小值这一时间段内的最高和最低温度。同理，如果事先可以知道某一时间段内，时间和降雨量之间的变化关系y=f(t),则由f(t)的单调性可知雨量的增减时间段，由f(t)的最大值和最小值这一时间段内的最大和最小雨量。赵钱孙李张王刘马牛杨武袁周叶陈许唐朱

生活中的函数问题举例

算命（算姓问题）：一天，一个算命先生的面前摆放着一大页纸如图1，手中拿着一小本如图2。

图1百家姓图2百家姓算命先生叫称：我可以算出你姓什么！问题：算命先生是如何算出你的姓氏的？

赵杨…..….1钱武…….….2孙袁….….3李周….….4张叶….….5王陈….….6数学思想——函数与方程方程思想：是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。例：国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%),则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?解析：根据题意得70(100-10x).x%=168

x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4当x2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去,x1=6时,100-10×6=40<50,∴税率应确定为6%.数学思想——等价转化

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换实施等价转化应遵循的原则是：在等价原则的基础上简单化、直观化、熟悉化、标准化的原则，即把遇到的问题，通过转化，将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，或者变成我们比较熟悉的问题来处理；。数学思想——等价转化

例如，(a+b)2=a2+2ab+b2从计算的角度考虑，左式较简单当把换为未知量时，对于方程求根问题而言，左式更有利于求出方程的根。又例如，我们易知，一条直线和两条平行直线相交，则同位角相等，进而得内错角相等。为证明三角形三内角和等于180度，可利用做辅助线的方法，使问题可等价的转化为同位角相等和内错角相等问题。从而知三角形三内角和等于180度。后面我们会通过求解线性方程组的消元法，进一步探讨用等价转化的数学思想解决问题方法。数学思想——分类讨论

对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。数学思想——分类讨论

例：已知长方体无盖纸盒有一个面是正方形，且已知两条棱的长度分别为4CM，5CM，求这个纸盒外面的表面积和容积。

解：无盖长方体的侧面为4个全等的长方形，因此只有底面为正方形才行（若是侧面为正方形，则有4个面为正方形，这不符合题意），据此分析，分类讨论如下：

1）当底面正方形边长为4CM时，4条侧棱长即为5CM此时:

表面积S1=42+4(4x5)=96cm2

容积V1=42x5=80cm3

2）当底面正方形边长为5CM时，4条侧棱长即为4CM此时:

表面积为S2=52+4(5x4)=105cm2,

容积V2=52x4=100CM3

数学思想——分类讨论

例：某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘）。问刻录这批光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻录费用省？请说明理由。

设需要刻录x张光盘，则

到电脑公司刻录费用为y1=8x元，若自刻录费用y2=120+4x元。

当y1＞y2时，x＞30；当y1＝y2时，x＝30；当y1＜y2时，x＜30.

正好30张时,到电脑公司刻录费用与自刻录费用一样省。

超过30张时，还是自刻录费用省。

少于30张时，到电脑公司刻录费用省。

数学思想——数形结合

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的（如应用函数的图像来直观地说明函数的性质）；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合既分析问题的代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数学中的知识，有的本身就是数形的结合。如：任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。数学思想——数形结合

利用几何图形证明乘法公式:(a+b)2=a2+2ab+b2

设a、b分别表示一条线段的长度，则a+b可以表示两条线段之和，那么(a+b)2就可以表示正方形的面积．同样，a2、ab、b2也可以表示相应部分的面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性．

aa

bb数学思想——其它思想

整体思想:从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。例

有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？数学思想——其它思想

分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决。解:设购甲,乙,丙各1件分别需x元、y元、z元。依题意，得

即得关于和的方程组可解得：即购甲,乙,丙各1件需1.05元数学思想——其它思想

类比思想:把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处.例如：

解一元一次方程：解一元一次不等式：

2x+6=3-x

2x+6＜3-x

解：移项得：

2

x+

x=3-6

2x+

x＜3-6

合并同类项得：3x=-33x＜-3

两边都除以3得：

x

=-1

x

＜-1

只要注意最后一步：系数化为1时，不等式的两边如果都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变即可。数学思想——其它思想

极限思想:是微积分的基本思想，高数中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数、定积分等都是借助于极限定义的。应用极限思想可使数学从有限延伸到无限。

例如？令则=

1/2n

可得sn=1-1/2n当趋向于无穷大时有sn=1数学思想——其它思想

概率统计思想：是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。例如参加比赛时，用抽签决定出场的顺序，大家认为是公平的。又如，应用统计方法，可以获得一批产品的合格率是多少。再如，应用统计方法，可以获得粮食总产量的估计等等。。数学模型运用数学方法的关键，是针对所要研究的问题，提炼出一个合适的数学模型，这个模型既能反映问题的本质，又能使问题得到必要的简化。定义：数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式数学模型分类（按应用领域分类）生物学数学模型、医学数学模型、地质学数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化学数学模型、天文学数学模型、工程学数学模型、管理学数学模型等。例:某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原材料的消耗量如下表。该工厂生产一件产品Ⅰ可获利润2元，生产一件产品Ⅱ可获利润3元，问应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？设产品Ⅰ和产品Ⅱ的产量分别为x1,x2。则使工厂获得利润Z最大的生产计划可表示为：产品资源ⅠⅡ资源量设备(台时)128原材料A(g)4016原材料B(g)0412管理学数学模型举例数学认识的特殊性

数学产生：数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。如最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的计数和测量。数学的发展：数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过程中，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的思想和具体方法。数学认识的特殊性

数学研究的特殊性：研究事物的数量特性，而不研究事物的质的特性。“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不见的，只能用思维来把握，而思维有其自身的逻辑规律。数学认识方法的特殊性：这种特殊性表现在数学知识由经验形态上升为理论形态的特有的认识方法——公理法或演绎法，以及由此产生的特有的理论形态——公理系统和形式系统(包含字母,字的集合及由关系组成的有限集合)。数学不能像自然科学那样仅仅使用观察、归纳和实验的方法，还必须应用演绎法。因此，演绎法是数学认识特殊性的表现。数学认识的特殊性

数学研究特有的问题：计算与证明。证明：是从一定的前提（基本概念和公理）出发，按照逻辑规则所进行的一种演绎推理。数学成果不能像自然科学成果那样通过实验来证实，而必须通过逻辑演绎来证明，所以，数学家如何把自己的成果表达成一系列的演绎推理（即证明）就成为重要工作。计算：数学家必须经过大量的具体计算和各种试验或实验，并加以分析、归纳，才能形成证明的思路和方法。可见，“演算”反映了数学研究的计算和证明这两项基本工作及其特点。第1章

线性方程组问题与高斯消元法

内容提要线性方程组问题举例

卡尔·弗里德里希·高斯简介等价转换思想方法-高斯消元法2/4/202350计算机科学与工程学院大约四千年以前，巴比伦人知道如何解含有两个未知数的线性方程组。在著名的《九章算术》(大约公元前200年)中，中国人利用线性方程组的系数给出了含有三个未知数的线性方程组的解。莱布尼兹于1693年提出了行列式的概念。瑞士数学家克莱姆在1750年出版的《代数曲面分析入门》中，发表了一个以他名字命名的解线性方程组的法则。高斯为解决线性方程组提出了一个系统的程序，叫做高斯消元法。他处理了方程数目与未知数数目不等的线性方程组。很多问题的数学模型为线性代数方程组。例如问题1：“100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。问有大、小和尚各多少个？”。问题2：“有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。问笼中有鸡和兔各几只？”。

2/4/202351计算机科学与工程学院线性代数方程组举例1

某地有：煤矿，电厂和一条地方铁路。各企业每生产1元钱的产品所需费用如表所示。现煤矿和电厂接到外地定货5万元和2.5万元。问三个企业的生产总值各多少时能满足本地和外地的要求？

解:设煤矿的总产值为x1

电厂的总产值为x2

铁路的总产值为x3根据题意有：运输费电费燃料费煤矿0.250.25电厂0.150.050.65铁路0.100.55线性代数方程组举例2线性代数方程组举例3

专家建议某种宠物每天的饮食中应当含有100单位蛋白质，200单位碳水化合物和50单位的脂肪。现有4种不同的食品A,B,C,D,其蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表(单位：盎司）

。如何搭配该宠物的饮？食品蛋白质碳水化合物脂肪A5202B4252C71010D1056解:设每天食用食品A,B,C,D的数量分别为x1,x2,x3,x4。则符合专家建议的搭配应满足如下条件(构成了一个方程组):

线性方程组的基本知识一般线性方程组是指形式为:的方程组，其中x1,x2,…,xn代表n个未知量,s是方程的个数；称aij(i=1,2,…,s;j=1,2,…,n)为方程组的系数；称bi(i=1,2,…,s)为常数项．

对于如下有m个方程n个未知量的方程组：其中ai,j为已知系数，xi未知，bi为已知项。若令则有方程组的矩阵形式:方程组的矩阵形式例：设有方程组：则其矩阵形式为：

方程组的矩阵形式

方程组的解解设k1，k2，…，kn是n个数,如果x1，

x2，…，

xn分别用k1，

k2，…，

kn代入后，使的每一个式子都变成恒等式，则称有序数组(k1，

k2，…，

kn)是方程组的一个解。解集合方程组的解的全体所成集合称为它的解集合。解集合是空集时就称方程组无解。卡尔·弗里德里希·高斯高斯（1777年4月30日－1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉。高斯的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。高斯9岁时，用很短的时间计算出了老师布置的任务：从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050。卡尔·弗里德里希·高斯高斯7岁上学。1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。当然，这也是一个等差数列的求和问题。当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。E．T．贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。卡尔·弗里德里希·高斯1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。1792年高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。卡尔·弗里德里希·高斯高斯不到20岁时，在许多学科上就已取得了不小的成就。对于高斯的成功，邻居的几个小伙子很不服气，决心要为难他一下。他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉线的另一头也系在瓶塞上。他们小心翼翼地捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道，“你一天到晚捧著书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉线弄断吗？”高斯本不想理他们，可当他看了瓶子后，又觉得这道难题还的确有些意思，于是认真地想着解题的办法来。卡尔·弗里德里希·高斯在小伙子为能难倒高斯而得意之时，大街上的围观者越来越多。大家兴趣甚浓，把期冀的目光投向高斯。高斯眉头紧皱，一声不吭。小伙子们更得意了，他们为自己高明的难题而叫绝。有人甚至刁难道：“怎么样，你智力有限吧，实在解不出，以后别再逞能了。”高斯不受围观者嘈杂吵嚷的影响而冷静思考。他无意地看了看明媚的阳光，又望了望那个瓶子，忽然高兴地叫道：“有办法了。”说着从口袋里拿出一面放大镜，对着瓶子里的棉线照着，一分钟、两分钟..人们好奇地睁大了眼，随着钱币“铛”的一声掉落瓶底，棉线被烧断了。高斯高声说道：“我是把太阳光聚焦，让这个热度很高的焦点穿过瓶子，照射在棉线上，使棉线烧断。”人们发出一阵欢呼声，那几个小伙子也佩服得连连赞叹。卡尔·弗里德里希·高斯1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克（虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家），正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时，又是公爵伸手救援他。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词："献给大公"，"你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究"。卡尔·弗里德里希·高斯德国著名学者洪堡（B.A.VonHumboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。1807年，高斯赴哥丁根就职。高斯有"数学王子"、"数学家之王"的美称、被认为是人类有史以来"最伟大的四位数学家之一"（阿基米德、牛顿、高斯、欧拉）。高斯幼年时就表现出超人的数学天才。11岁时发现了二项式定理，17岁时发明了二次互反律，18岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。1)换位变换：交换两个方程的位置；

2)倍法变换:用一个非零数乘上某一个方程;

3)消法变换：将一个方程的倍数加到另外一个方程.

所谓线性方程组的初等变换是指以下三种变换

结论:线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解。线性方程组的初等变换高斯消元法

利用初等变换化一般线性方程组为阶梯方程组：回代:求解上述三角形方程组，得到求解公式高斯消元法举例

例：用消元法解线性方程组：解：经消元得等价上三角方程组：用回代公式求其解得：高斯消元法：该方法以数学家高斯命名，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。

摘要：通过《九章算术》解三元一次方程组的过程与增广矩阵的初等行变换进行对照，得出高斯消元法是中国古法的结论。【分类】【数理科学和化学】>数学

>古典数学

>中国古典数学【关键词】

高斯消元法

《九章算术》

中国

矩阵

线性方程组

解体方法

古代数学

初等行变换【出处】

《沈阳农业大学学报》2003年第1期

56-58页共3页

【收录】

中文科技期刊数据库第2章

图形面积问题与微积分法

内容提要圆周率计算与阿基米德、祖冲之简介极限思想方法与面积计算牛顿、莱布尼茨简介经济领域中的相关问题与导数方法2/4/202370计算机科学与工程学院

圆周率：圆有它的圆周和圆心，从圆周任意一点到圆心的距离称为半径，半径加倍就是直径。直径是一条经过圆心的线段，圆周是一条弧线，弧线的长度是直线（直径）的多少倍，在数学上叫做圆周率。简单说，圆周率就是圆的周长与它直径之间的比，它是一个常数，用希腊字母“π”来表示。在天文历法方面和生产实践当中，凡是牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。从有文字记载的历史开始，求出圆周率π的尽量准确的近似值就引起了人们的兴趣。直到19世纪初，求圆周率的值仍为数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长、曲折和饶有趣味的道路。古今中外一代代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展的一个侧面。德国数学史家康托说："历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。"

2/4/202371计算机科学与工程学院在古代，长期使用π＝3（是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的）。最早的文字记载如基督教《圣经》中，大约在公元前950年前后的圆周率为3。科学地研究圆周率的第一个人是阿基米德，是他首先提出了一种能够借助数学过程把π的值精确到任意精度的方法。阿基米德证明了“3+(10/71)＜圆周率＜3+(1/7)”。基于这种方法，能够求得圆周率的更准确的值。圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此：

据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。

2/4/202372计算机科学与工程学院在我国，公元263年前后，数学家刘徽提出著名的割圆术。虽然他比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上下界。另外，刘徽在割圆术中提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的近似值通过简单的加权平均，竟然获得圆周率π＝3927/1250＝3.1416。如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。令人遗憾的是，由于人们对这一割圆术中的神奇的精加工技术缺乏理解，而被长期埋没了。《隋书·律历志》指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。一是求得圆周率3.1415926＜π＜3.1415927，二是，得到π的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。他算出了π的8位可靠数字，以最精密的圆周率而保持世界记录九百多年。基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之得到这一成果。如果单纯地割圆术，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。由于记载其研究成果的著作《缀术》早已失传，祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算已不得而。祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎"发现宫"科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……1150年，印度数学家算出π=3.1416。1424年，天文学家、数学家卡西，计算了805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π＝3.14159265358979325有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国，圆周率π被称为“鲁道夫数”。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。17世纪出现了数学分析，π的计算历史也随之进入了一个新的阶段。人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算π。1593年，韦达给出:这一公式是π的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。1650年沃利斯给出：1706年，梅钦建立了一个重要的公式，现以他的名字命名：他算到小数后100位。级数方法宣告了古典方法的过时。此后，圆周率的计算像马拉松式竞赛，纪录一个接着一个。1873年，谢克斯利用一系列方法，花费了二十年的时间将π算到小数后707位。他死后，人们将π的小数点后707位数值铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力。在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的π值。若干年后，数学家弗格森使用了当时最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森发现谢克斯的值中第528位是错的（应为4，误为5）。1948年1月弗格森和伦奇共同发表有808位正确小数的π。这是人工计算π的最高记录。电脑的出现导致了计算方面的根本革命。1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，仅用了不到70小时。1973年，圆周率算到了小数点后100万位。1989年突破10亿，1995年10月超过64亿位。1999年9月30日，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，这些纸摞起来将高达五六百米。2001年，金田康正计算出圆周率小数点后1,241,100,000,000位数。如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完。新世界纪录日本筑波大学于2009年算出π值2,576,980,370,000位小数，打破了金田康正于2001年创造的纪录。11月20日，在位于陕西杨凌的西北农林科技大学，生命科学学院研究生吕超学用时24小时04分，不间断、无差错背诵圆周率至小数点后67890位，创下背诵圆周率的新吉尼斯世界纪录。此前的吉尼斯世界纪录为无差错背诵小数点后42195位。（新华社报道）实际上，现代科技领域使用的π值，有十几位已经足够。如果用35位小数的π值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值："十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。"那么为什么数学家们还不是停止对π的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢？除人类的好奇心与领先于人的心态之外还有：1、用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。2、新的计算的方法和思路可以引发新的概念和思想。3、人们想知道：π的数字展开真的没有一定的模式吗？阿基米德（公元前287年—公元前

212年），古希腊哲学家、数学家、

物理学家。出生于意大利西西里岛的叙拉古。阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。阿基米德的父亲是天文学家和数学家，所以阿基米德从小受家庭影响，十分喜爱数学。物理发现：浮力原理（简述）：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。杠杆原理（简述）：作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等。即：动力×动力臂=阻力×阻力臂，用代数式表示为F1·l1=F2·l2。式中，F1表示动力，l1表示动力臂，F2表示阻力，l2表示阻力臂。从上式可看出，欲使杠杆达到平衡，动力臂是阻力臂的几倍，动力就是阻力的几分之一。名言：“给我一个支点，就能推动地球！”数学成就：《圆的度量》，利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为：22/7>π>223/71，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的等腰三角形的面积（使用的是穷竭法）。《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的三分之二。《抛物线求积法》，研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。他的数学思想中蕴涵着微积分的思想，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。故事：发现浮力原理的故事：相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好后，国王疑心工匠做的金冠并非纯金，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重。工匠到底有没有私吞黄金呢？国王想检验金冠是否为纯金，但又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。经一大臣建议，国王请来阿基米德检验。最初，阿基米德也是冥思苦想而却无计可施。后来有一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“找到了！找到了！”他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。故事2：阿基米德花了许多时间研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的。名言：“给我一个支点，就能推动地球！有一次叙拉古国王对杠杆的威力表示怀疑，他要求阿基米德移动载满重物和乘客的一艘新三桅船。阿基米德叫工匠在船的前后左右安装了一套设计精巧的滑车和杠杆。阿基米德叫100多人在大船前面，抓住一根绳子，他让国王牵动一根绳子，大船居然慢慢地滑到海中。群众欢呼雀跃，国王也高兴异常，当众宣布：“从现在起，我要求大家，无论阿基米德说什么，都要相信他！故事3:保卫祖国，阿基米德年老的时候，叙拉古和罗马之间发生了战争。罗马军队的最高统帅马塞拉斯率领罗马军队包围了他所居住的城市，还占领了海港。阿基米德虽不赞成战争，但又不得不尽自己的责任，保卫自己的祖国。

他制造了一种叫作石弩的抛石机，把大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗马士兵。他发明的大型起重机，把罗马的战舰高高地吊起，随后呼地一声将其摔下大海，船破人亡。最后罗马士兵都不敢靠近城墙，只要有一根绳子在上方出现，他们就会被吓跑，因为他们相信那个可怕的阿基米德一定在用一种什么新奇的怪物，会使他们一命呜呼。”阿基米德还曾利用抛物镜面的聚光作用，把集中的阳光照射到入侵叙拉古的罗马船上，让它们自己燃烧起来。罗马的许多船只都被烧毁了，但罗马人却找不到失火的原因。900多年后，有位科学家按史书介绍的阿基米德的方法制造了一面凹面镜，成功地点着了距离镜子45米远的木头，而且烧化了距离镜子42米远的铝。所以，许多科技史家通常都把阿基米德看成是人类利用太阳能的始祖。美国科普节目《流言终结者》对“镜子聚光烧战船”的事情进行了科学的论证。测试发现：在140尺远的距离，用300面铜镜使静止的船体冒烟；而当镜子对准帆的时候，热量大量流失，因为帆是白色的，且风一吹，前功尽弃；而在75尺的地方，用玻璃镜点燃了静止的船体。阿基米德之死：后来，在狄安娜节日期间，叙拉古城居民“完全放松了警惕，他们纵酒狂欢”，松懈下来。一直在窥测时机的罗马人乘其不备，一举攻破了防守懈怠的一段城防。罗马士兵闯入了阿基米德的住宅时看见一位老人正在自家宅前的地上画图研究几何问题，一个罗马战士走近沉思中的阿基米德，把地上所画的图形踩坏了。阿基米德说：「走开，别动我的图！」战士一听十分生气，于是拔出刀来，朝阿基米德身上刺下去，一代伟人就这样去世了。罗马军队的统帅马塞拉斯，将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决，还寻找阿基米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，又给阿基米德立墓，聊表景仰之忱。他为阿基米德举行了隆重的葬礼，并为阿基米德修了一座陵墓，在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿（因阿基米德发现球的体积及表面积，都是外切圆柱体体积及表面积的2/3，他生前曾流露过要刻此图形在墓上的愿望。），刻上了"圆柱容球"这一几何图形。公元461年，他在南徐州（今江苏镇江）刺史府里从事，先后任南徐州从事史、公府参军。公元464年他任娄县县令（今江苏昆山东北）。在此期间他编制了《大明历》，在《大明历》中，他首次引用了岁差，是我国历法史上的一次重大改革。他还采用了391年中设置144个闰月的新闰周，比古代发明的19年7闰的闰周更加精密。祖冲之推算的回归年和交点月天数都与观测值非常接近。在数学上，祖冲之推算出圆周率的真值应该介于3.1415926和3.1415927之间，比欧洲要早一千多年。在机械制造上，曾制造了铜铸指南车、利用水力舂米磨面的水推磨、能日行百里,千里船和计时仪器漏壶、欹器等。祖冲之(429年—500年)，字文远。南北朝时期著名数学家、天文学家和机械制造家。祖冲之生于建康(今江苏南京)。祖家历代都对天文历法素有研究，祖冲之从小就有机会接触天文、数学知识。在青年时代祖冲之就博得了博学多才的名声，宋孝武帝听说后，派他到“华林学省”做研究工作。周率数值的精确推算值，用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，在祖冲之那个时代，算盘还未出现，更别提计算机了。人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算，而公元五世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。祖冲之经过刻苦钻研，继承和发展了前辈科学家的优秀成果。他对于圆周率的研究，就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献。祖冲之对圆这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。

极限思想与面积计算极限思想极限思想是微积分的基本思想，高数中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。为确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的一个近似值，再依据有关信息，设法获得一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，再依据这一趋势把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。极限思想与面积计算极限思想的产生：与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题。16世纪的欧洲，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

极限思想与面积计算牛顿和莱布尼茨不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。极限思想与面积计算思维功能：极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以由有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。数学研究工作中，如对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。这种近似与精确的对立统一关系，两者在一定条件下的可相互转化，正是数学应用于实际计算的重要诀窍。极限思想与面积计算解决问题：极限思想方法是高等数学必不可少的一种重要方法，甚至可以说：高等数学就是用极限思想来研究函数的一门学科。高等数学与初等数学的本质区别就在于高等数学应用了极限思想。基于极限的思想方法，高等数学解决许多初等数学无法解决的问题如：瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题。极限思想与面积计算微积分基本定理及公式设函数f(t)在[a，b]上可积，则对每个x[a，b]，有一个确定的值与之对应，因此可以按对应规律x[a，b]定义一个函数

(x)=，x[a，b]

(2-1)

称如此定义的函数(x)为积分上限函数，或称变上限函数。定理2.1(微积分基本定理)设函数f(x)在[a，b]上连续，则以(1)式定义的积分上限函数(x)在[a，b]上可导，且

(x)=[]=f(x)，x[a，b]

(2-2)即连续函数的积分上限函数对上限求导等于被积函数．极限思想与面积计算定理2.2(原函数存在定理)如果f(x)在区间[a，b]上连续，则在[a，b]上的原函数一定存在，且其中的一个原函数为(x)=．定理2.3(牛顿－莱布尼兹公式)设f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)在[a，b]上的一个原函数，则

=F(b)－F(a)(2-3)公式(3)称为牛顿——莱布尼兹（Newton——Leibniz）公式．它把求定积分问题转化为求原函数问题，给出了一个不必求积分和的极限就能得到定积分的方法，称为微积分基本公式．微积分基本定理给出了计算不规则图形的面积的方法。极限思想与面积计算例

求由,所围成的图形的面积（如图）。解：由得或.,所以有：少年时的牛顿并不是神童，他资质平常、成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等。牛顿12岁时进了中学。随着年岁的增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小实验。牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，对自然现象有好奇心，例如颜色、日影四季等。艾萨克·牛顿（1643年1月4日－1727年3月31日）是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。在2005年，英国皇家学会进行了一场“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查，在被调查的皇家学会院士和网民投票中，牛顿被认为比阿尔伯特·爱因斯坦更具影响力。

1668年26岁制成反射式望远镜。1669年27岁著《论用无限项方程所作的分析》，任卢卡斯讲座教授。1671年29岁著《级数和流数方法论著》。1672年30岁1月当选为皇家学会会员，宣读《关于光和颜色的理论》的论文。1684年42岁会见哈雷，证明引力平方反比定律。1686年～1687年44岁著《自然哲学的数学原理》。1700年57岁提出“六分仪”的原理。1727年3月20日84岁逝世。1643年1月4日（旧历1642年12月25日）出生于林肯郡乌尔索普。1661年19岁6月15日入剑桥大学三一学院学习。1665年24岁发现二项式定理。1665年～1666年24岁因鼠疫流行回到家乡，对光学、力学、数学有多方面的研究和突破。有一次，他自己做了一架小风车带到学校。同学们都围拢过来看。正在一帮小家伙眨巴着眼睛羡慕牛顿的时候，一个同学怪声怪气地说：“哟!这风车做得还怪灵巧呢!”这同学讲的是反话，因为他平时学习成绩好，一直在牛顿之上，看到牛顿在他面前表演，很不服气，于是又提高嗓门说：“你这小风车外型造得还可以，可它为什么会转动，你懂得这原理吗?”牛顿一时答不上来，脸就红了。那位同学劲头更足了：“哼!说不出来吧，可怜!自己做的东西自己讲不出原理，说明你只不过和木匠一样!”牛顿被他这番话羞得无地自容，他哭丧着脸，走开了。牛顿小时候，有一次老师布置了一个劳技作业：做小板凳。交作业那天，老师看到牛顿的作业后嘲笑说：“我想这世上再也没有比这个更难看的小板凳了。”“有，”牛顿说，然后从座椅下拿出另一个小板凳：“我的第一个作品就更难看。据说有一次牛顿煮鸡蛋，他一边看书一边干活，糊里糊涂地把一块怀表扔进了锅里，错把怀表当鸡蛋煮了。一次，一位客人请他估价一具棱镜。牛顿一下就被这具可以用作科学研究的棱镜吸引住了，毫不迟疑地回答说：“它是一件无价之宝！”客人表示愿意卖给他，还故意要了一个高价。牛顿立即欣喜地把它买了下来，管家老太太知道后，生气地说：“咳，你这个笨蛋，你只要照玻璃的重量折一个价就行了！”一次牛顿请朋友吃饭，准备好饭菜后，自己却钻进了研究室，朋友见状吃完后便不辞而别了，牛顿出来时发现桌上只剩下残羹冷饭，以为自己已经吃过了。一次他放风筝时，在绳子上悬挂着小灯，夜间村人看去惊疑是彗星出现；他还制造了一个小水钟。每天早晨，小水钟会自动滴水到他的脸上，催他起床。他还喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着他刻画的日晷，用以验看日影的移动。在美国学者麦克·哈特所著的《影响人类历史进程的100名人排行榜》，