数学建模五步法

一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利150美0元,估计每10美0元的折扣可

以使销售量提高15%。⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。⑵对你所得的结果，求关于所做的 假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。⑶假设实际每 美元的折扣仅可以使销售量提高 0对结果会有什么影响？如果每 美元的折扣的提高量为 之间的某个值结果以如何⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。运用五步法求解上面问题。⑴提出问题问题⑵选择建模方法方法⑶推导模型的数学表达式⑷求解模型⑸回答问题。㈠问题的提出1.具体问题⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。⑵对你所得的结果，求关于所做的 假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。⑶假设实际每10美0元的折扣仅可以使销售量提高10，%对结果会有什么影响？如果每10美0元的折扣的提高量为10%~之1间5的%某个值,结果以如何.⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。.符号的说明利润（美兀）；折扣（美元）没有折扣时的销售量（量）打折后得销售量（辆）利润每 美元折扣提高的销售量模型的假设⑴打折后每辆汽车的利润( X0(美元)；⑵打折后得销售量q，(1+100€15%)q° (辆)；x⑶利润P，(1500-x)(1+——€15%)q(美元)；100 o⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低100x美元销售量就提高了15%x。4■问题的分析根据题意，以目前的价格，销售量为，利润为n(P-C)，1500，现厂家估计每10美0元的折扣可以使销售量提高15，%我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低100x美元销售量就提高了15%x,现需决定的大小,使得厂商获取最大利润。㈡模型的建立与求解提出问题根据题意，以目前的价格，销售量为,利润为n(P-C)，1500，现厂家估计每10美0元的折扣可以使销售量提高15，%我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低100x美元销售量就提高了15%x，现需决定的大小,使得厂商获取最大利润。所以目标时求利润P的最大值。选择建模方法设y，f(x)在x„S处是可微的，若f(x)在x处达到极大或极小则八x)，0。推导模型公式记y,P/q作为求最大值的目标变量，x自变量，我们的问题就化为在集合0S，｛x:x>0｝上求下面函数的最大值利用第二步中确定的标准过程求解这个模型x对y，f(x)，(1500-x)(1+而€15%)在区间X上求最大值。利用软件作出z€f(x)的图像。程序：图折扣与利润的关系如图可知y€f(x)关于是二次的曲线图，易得f'(x)€,0.003X+1.25,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1250 ( 1250、 (1250 、则在X€ 处f'(X)€0。由在区间 上单升而在区间 ,+S\o"CurrentDocument"3 I3丿 I3 丿上单减故点X€空是整体最大值点3\o"CurrentDocument"因为f(空)€1760.4从而点(x,yL(空,1760.4„是在整个实轴上的整3 I3丿体最大值点也是区间三上的最大值点。5.回答问题⑴由第四步我们得到的答案是在打约 美元的折扣的时候，可以获得最大利润。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。⑵对问题二进行粗灵敏度分析前面我们假定r€0.15(辆百美元),现在假设r的实际值是不同的，对几个不同的r值，重复前面的求解过程我们会对问题的解关于 的敏感程度有所X了解即给定r对y€f(x)€(1500-x)(1+而r)求导，令f'(x)=0，可得相应x值,不同的r值求出x如表。表所打折扣关于销售量的增长速率的灵敏性将表中的数据绘制在图中。根据图我们可以看出折扣x对参数r是很敏感的⑶由第⑵知折扣x与参数r之间的关系为x=750-50,所以当每美元的r折扣仅可以使销售量提高 ，即r=10%时，折扣为 可以是利润最大，此时最大利润为 q。将x=750-50代入，可得利润P=5625r,25,750，0 r r利用 软件做出y=f(r)的图。程序如下：结果如下：图利润关于销售量的增长速率的曲线所以当每 美元的折扣的提高量为 〜之间的某个值时总利润随着这个值得增加而增加。⑷将初始销售量看成常量，则不的打折利润为，现在利润P=—0.0015x2,1.25x,1500,当利润下降时，就有P<150,0