现代控制理论第二版 王孝武 第4章

第4章控制系统稳定性

对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A.M.Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。本章的主要内容为1.引言2.李亚普诺夫意义下稳定性的定义3.李亚普诺夫第二法5.线性定常离散系统的稳定性4.线性连续系统的稳定性6.有界输入-有界输出稳定7.非线性系统的稳定性分析4.1引言

李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。

第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。

对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。例4-1一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。令（1）选取状态变量则系统的状态方程为（2）在任意时刻，系统的总能量（3）显然，当时，而当时而总能量随时间的变化率为可见，只有在时，。在其他各处均有，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。4.2李亚普诺夫意义下稳定性的定义一：范数向量的范数定义为m×n矩阵A的范数定义为如果平衡点xe不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使

xe=0，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。二：平衡状态定义为满足状态4.2.1稳定的定义定义对于任意给定的实数ε>0，都存在对应实数δ(ε,t0)

，则称平衡状态xe为Lyapunov意义下稳定的。如果δ与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。非线性时变系统使得从满足的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：（对于所有t≥t0）4.2.2渐近稳定对于任意给定的实数ε>0，δ>0，都存在实数T(ε,δ,t0)，则称平衡状态xe为Lyapunov意义下渐近稳定。如果T与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：使得从满足（对于所有t≥t0+T(ε,δ,t0)）Lyapunov意义下稳定渐近稳定渐近稳定4.2.3大范围渐近稳定如果从状态空间中的任意初始状态x0出发的轨线x(t)，都有：则称平衡状态xe为Lyapunov意义下大范围渐近稳定或全局渐近稳定。如果与t0无关，则称为Lyapunov意义下一致渐近稳定。如果只有从平衡点xe的某个领域内的初始状态x0出发的轨线x(t)才有：则称平衡状态xe为Lyapunov意义下局部范围渐近稳。不稳定4.2.4不稳定对于任意的实数，存在一个实数，不论取的多么小，在满足不等式的所有初始状态中，至少存在一个初始状态，由此出发的轨线，满足称为Lyapunov意义下不稳定二：标量函数的正定性、负定性1：正定性设有标量函数V(x)，对域S中的所有非零状态x，总有V(x)

>0，且当x=0时，有V(x)=0，则称标量函数V(x)在域S内是正定的2：负定性设有标量函数V(x)，对域S中的所有非零状态x，总有V(x)<0，且当x=0时，有V(x)=0，则称标量函数V(x)在域S内是负定的。此时–V(x)是正定的3：正半定性和负半定性设有标量函数V(x)，对域S中的某些非零状态x及x=0，有V(x)=0，而对于S中的其余状态有V(x)>0，则称标量函数V(x)在域S内是正半定的。如果-V(x)是正半定的，则V(x)是负半定的4：赛尔维斯特准则：对于二次型函数V(x)=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V(x)也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V(x)也是正定的。例如：是正定的。例如：是半负定的。例如：是负定的。例如：是半正定的。例如：是不定的。（7）定理4-1

设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为负定。则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。其中称为广义能量函数（energy-likefunction），又称为Lyapunov函数。4.3李亚普诺夫第二法例4-2

系统的状态方程如下，判别系统稳定性。解而将状态方程代入上式，化简后得选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足可见，是负定的，即满足因此，是一致渐近稳定的。当，有，故系统是一致大范围渐近稳定的。定理4-2

设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；3）除了平衡状态外，还有的点，但是不会在整条状态轨线上有则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。例4-3

系统的状态方程为其中，a

为大于零的实数。判别系统的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而将状态方程代入上式，化简后得可见，当和任意的时，有，而和任意时，。又因为，只要变化就不为零，因此在整条状态轨线上不会有。因此，是一致渐近稳定的。当，有，故系统是一致大范围渐近稳定的。定理4-3

设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；则为一致稳定的。如果，，则是大范围一致稳定的。因为≤0则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此是一致稳定的。例4-4

系统的状态方程为其中，k

为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而由定理4-3可知，为Lyapunov意义下一致稳定。定理4-4

设系统状态方程为

在的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为正定或半正定；则为不稳定的。例4-5

系统的状态方程为分析系统平衡状态的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而由定理4-4可知，是不稳定的。

应该指出：Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般方法。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：inconclusive—没有得出结论）。4.4线性连续系统的稳定性对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为由第2章介绍的方法求出其解为由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定；如果发散，则都不稳定。首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定的。即：对线性定常系统，可以用Lyapunov第二法。

如果方阵Q是正定的，则－Q

就是负定的。负定的矩阵主子式负正相间。Lyapunov函数为状态变量的二次型函数，即如果P为维正定的对称常数矩阵，则为正定的。令，其中Q为正定实数矩阵，且满足如果给定Q阵，能够推出P

为正定的，则系统在为稳定的。并且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。（注1：线性定常系统，可以判断A的特征值是否全部具有负实部，既可以判别其稳定性。）（注2：因为是线性定常系统，则Q为正定时，P阵或者为正定、或者为负定，不会是不定的。）例4-6

线性定常系统的状态方程为判别系统的稳定性。解系统的平衡状态为为简单起见，可以令Q

阵为单位矩阵I。解得有可见，P为正定的矩阵，故为大范围一致渐近稳定的。4.5线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的状态方程为（8）系统的平衡状态为假设G

为维非奇异常数阵，是唯一的平衡状态。选取Lyapunov函数（9）式中，P

为正定的对称常数，因此是正定的。的差分为若要在处渐近稳定，要求为负定的。所以其中Q为正定。给定一个正定对称常数阵Q，求P

阵，并验证其正定性。（10）例4-7

线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。解系统的平衡状态为为简单起见，可以令Q

阵为单位矩阵I。解得P的各阶主子式均大于零，即可见，P为正定的矩阵，故为大范围一致渐近稳定的。4.6有界输入-有界输出稳定4.6.1有界输入-有界输出稳定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为BIBO系统。如果输入有界，是指≤如果输出有界，是指≤可以取如果≤于是≤≤≤定理4-5

由方程描述的线性定常系统。为初始松弛系统。其输出向量的解为（11）BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有≤或者对于的每一元素，都有≤其中，a

为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为例4-8线性定常系统方程为分析系统是否BIBO稳定。解可见，只有当时，才有有限值存在，系统才是BIBO稳定的。4.6.2BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系对于线性定常系统（12）平衡状态的渐近稳定性由A的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。

的所有极点都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是的极点。可能存在零极点对消。所以，处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是处的渐近稳定。那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态渐近稳定呢？结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在处是渐近稳定的。4.7非线性系统的稳定性分析4.7.1用Lyapunov第二法分析非线性系统稳定性到目前为止，尚没有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。1.克拉索夫斯基法（12）非线性定常系统的状态方程为其中和均为n维向量。为非线性多元函数，对各都具有连续的偏导数。构造Lyapunov函数如下（13）其中

W

为正定对称常数矩阵（14）而（15）其中称为雅可比矩阵（16）其中（17）如果是负定的，则是负定的。而是正定的，故是一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取，这时例4-10

非线性定常系统状态方程为试分析的稳定性。解雅可比矩阵选择W=I

则检验的各阶主子式：并且时，有显然，是负定的，故是大范围一致渐近稳定的。2变量梯度法设连续时间非线性时不变系统Xe=0为系统孤立平衡状态，(1)设V(x)的梯度为(2)设梯度▽V(x)对应于有势场，则旋度rot▽V(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)(6)判断V(x)计算结果的正定性

3：阿塞尔曼法设系统的动态方程为：其中f（xi）为非线性单值函数，f（0）=0，故x=0为系统的平衡状态。阿塞尔曼指出：若以线性函数取代非线性函数，即令f（xi）=kxi，可对线性化后的系统建立李雅普诺夫函数V（x），若dV（x）/dt在k1≤k≤k2区间内是负定的，则当非线性函数不超过上述区间时，非线性系统的平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。例

设f(x1)如图所示，判断x=0的稳定性解：令f(x1)=2x1

线性化后的系统方程为

令得Q为正定对称阵认为非线性系统的李雅普诺夫函数就是V（x），则根据负定的要求，稳定时要求根据负定的要求，稳定时要求只要非线性特性在此范围内，系统是大范围渐近稳定的