数学文化1-2(勾股定理)

在数学的天地里，重要的不是我们知道了什么，而是我们是怎么知道的。

——毕达哥拉斯

第24届“国际数学家大会”（ICM）

被誉为国际数学界的“奥林匹克”

InternationalCongressofMathematicians

数学文化第24届“国际数学家大会”会标第二十四届：2002年8月20日至28日中国北京。来自１００多个国家和地区的约４０００名数学家出席了大会。大会期间，有２０位数学家做大会一小时报告，１７４人做４５分钟报告。大会主席吴文俊、诺贝尔经济学奖获得者纳什等做了以数学史和博弈论为题的公众报告。为2002北京“国际数学家大会”发行的

纪念邮资明信片JP108主讲：徐梦博复习专题：《勾股定理》“勾股定理”是我们最熟悉的平面几何中的一个最著名、最精彩、最有用的一条定理，是数学大厦的一块基石，被天文学家开普勒誉为几何学的一大宝藏。温故而知新专题一：《勾股定理》引言：

“勾股定理”的探索和证明蕴含丰富的数学思想和研究方法，是培养学生思维品质的载体。它对数学的发展具有重要的作用。

勾股定理是一坛陈年佳酿，品之芬芳，余味无穷，以简洁优美的形式，丰富深刻的内涵刻画了自然界和谐统一的关系，是数形结合的优美典范。.通过本章对勾股定理的学习，深入了解勾股定理的历史文化背景。1．从“探索勾股定理”中温故知新．2．从“验证勾股定理”中提高说理能力3.从“应用勾股定理”中提高解决问题能力。复习目标探索勾股定理一、《周髀算经》与“勾股定理”《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，成书时间大约在两汉之间。《周髀算经》是一部天文著作，为讨论天文历法，而叙述一些有关的数学知识，其中重要的题材有勾股定理、比例测量与计算天体方位所不能避免的分数四则运算。

《周髀算经》(西汉,约公元前200年)《周髀算经》卷上记载西周开国时期（约公元前1100年）周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾三，股四，经五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的普遍形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”

中国数学史上最先完成勾股定理证明的是三国时期的赵爽（公元3世纪）。赵爽在《周髀算经注》中，采用证明几何问题的割补原理，利用“弦图”，证明了勾股定理。

方田《九章算术》

粟米

衰分

少广

商功

均输

盈不足

方程

勾股《九章算术》是一部问题集形式的算书，共246个问题，采用“问、答、术”的形式进行编排，共202术，按不同算法的类型，分为九章。成书于公元前100年左右，作者不详。中国最著名、最优秀的数学经典中国传统数学的代表作中国古代数学文献的典范

二、勾股定理在西方毕达哥拉斯定理（尼加拉瓜，1971）

在西方，“勾股定理”被称为“毕达哥拉斯定理”，于公元前500年左右由古希腊数学家毕达哥拉斯（学派）发现。相传因这一发现，曾宰牛百头庆贺，此定理也称为“百牛定理”该学派最大的特点是宣称宇宙万物的主宰者(上帝)用数来统御宇宙,认为万物包含数,即:“万物皆数”(这里的数是指整数与整数之比).ABC

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a2+b2=c2勾股定理A的面积+B的面积=C的面积abc验证勾股定理三、勾股定理的证明

由于勾股定理的重要性，尽管该定理早已被证明，许多人仍然愿意探索该定理的新证明。据初略统计，世界上已有400余种证明勾股定理的方法。仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这一定理证明方法之多是任何其他定理无法比拟的。

重点介绍几种特殊而优美的证法（一）赵爽证法（二）刘徽证法（三）毕达哥拉斯证法（四）欧几里得证法（五）总统证法，化简得：

（一）赵爽证法公元3世纪我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”：

（二）刘徽证法

我国数学家刘徽在为《九章算术》注作中，提出以「出入相补」的原理来证明「勾股定理」中给出的“青朱出入图”：ba

(a+b)2 = c2+4(½ab)

a2+2ab+b2 = c2+2ab

a2+b2 = c2c（三）毕达哥拉斯证法（割补法）欧几里得的《几何原本》是古希腊数学成果、思想、方法和精神的结晶。是整个科学史上发行最广使用时间最长的书，成为数学的“圣经”。全书共分13卷，包括5条公理、5个公设、119个定义和465条命题，构成了世界上第一个数学公理体系。（四）欧几里得证法证法四：（欧几里得证法公元前3世纪）“新娘的轿椅”或“修士的头巾”

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。AK=ACAB=AD∠KAB=∠CAD△KAB≌△CADS

正方形KACH=

S

四边形ADNM同理：S

正方形BCGF=

S

四边形BENMS

正方形KACH+

S

正方形BCGF=

S

四边形ADNM+

S

四边形BENMS

△KAB=

S

△CAD∴S

正方形KACH+

S

正方形BCGF=

S

四边形ADEB（五）总统证法：（伽菲尔德证法1876年）ABCDE梯形ABCD的面积＝梯形ABCD的面积＝∴∴1881年成为美国第20任总统1876年提出有关证明四、勾股定理的重要性勾股定理的证明是论证数学的发端，它是历史上第一个把形与数联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理。勾股定理导致无理数的发现，引发了第一次数学危机，加深了人们对数的认识，促进了数学的进步发展。勾股定理是历史上第一个给出不定方程的解答，从而促使费马大定理的提出。（这是一只下金蛋的鹅，数学家经过350年的历程才获得解决，这期间给整个数学界带来了巨大的财富。）第一次数学危机起因:无理数的发现(希帕苏斯悖论)

解决:

欧多克斯,创立了比例论,暂时消除了由无理数引起的第一次数学危机;

直至1872年，现代实数理论的奠基人之一的狄德金（德国）提出了狄德金分割，给出了无理数与连续性的纯算术的定义。意义：直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

应用勾股定理一、分类讨论思想1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜边时，应分类讨论。规律2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC的长度。∟DABC1.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2=25或717108ABC1017∟D8BC=BD+CDBC=CD-BC二、方程思想

规律：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。例１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ABC5米(X+1)米x米三、折叠问题例1.长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE810810106xx8-x4?四、展开思想例1.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。买最长的吧！快点回家，好用它凉衣服。糟糕，太长了，放不进去。如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB≈3米例2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？2032AB２０２32323ＡＢＣ

例3如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定BB8OA2蛋糕ACB８周长的一半６例1、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题。5X+1XCBA应用举例：作业思考题：1.最早记载“勾股定理”内容的我国古代数学著作是哪一本？2.我国最早证明勾股定理的是哪个朝代的哪位数学家？他是怎样证明的？3.在西方国家“勾股定理”一般被称为什么定理？4.学习勾股定理的文化意义？五、勾股定理的文化意义人类认识世界、改造世界最初级的重要工具之一。战国时期一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使江河不决流，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

勾股定理产生于生活，并应用于实践Let’ssaytogether在本节课中,我们……1.本节主线问题情境分析探究得出猜想总结应用证明归纳2.学习内容及方法

学习了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法.3.本节的数学思想

借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。4.学了本节课后我们有什么感想？

很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现.这节课我们还认识了几位伟大的数学家,受到了数学文化辉煌历史的教育。教师寄语亲爱的同学：牛顿---从苹果落地最终确立了万有引力定律。毕达哥拉斯-从朋友家地砖图案中发