数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法(2016.4.21)一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：证明当n取第一个值n(如n=1或2等)时结论正确；00假设当n€k(k,N*,k>n)时结论正确，证明n=k„1时结论也正确.0综合(1)、(2)，……注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳:题型1•证明代数恒等式例1.用数学归纳法证明:„—1、—1x33x55x7 ……2n-1）＜2n+1）—2n+1证明：①n=1时，左边€占€3，右边€二€1，左边=右边，等式成立.1x3 3 2+1 3②假设n=k时，等式成立，即:1 + 1 + 1 + +J_k1X3 3x5 5X7 ……2k-1）（2k+1）€2k+1当n=k+1时.1„1„1„11X3 3^5 5^7 … …2k-1）（2k+1）（2k+1）6k+3）€ k 丄/ 1 、€2k+1 （2k+1）（2k+3）2k2+3k+1、€（2k+1）（k+1）、（2k+1）＜2k+3）€（2k+1）（2k+3）€k+1€k+1€2k+3€2(k+1)+1这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n等式成立.

题型2.证明不等式111一例2.证明不等式1+色+右+…+而€2"（淀N）.证明：①当n=1时，左边=1,右边=2.左边＜左边＜右边，不等式成立.②假设n=k时，111―不等式成立，即1②假设n=k时，111―不等式成立，即1+右+右+…+真€“k-那么当n=k+1时，11++忑\/!+12.k^k+l+1

x/i+r€k+(k+J+1，2(k+1„，

v'lrr ■这就是说，当n=k+1时，不等式成立.由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立.由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立.说明:这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是111.+…+真+羔订€Uk+1，当代入归纳假设后，就是要证明:一1 2次+ €2、；k+1.'Jk+1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标.题型3.证明数列问题例3 (x+1)n=a0+a1(x—1)+a2(x—1)2+a3(x—1)3 a”(x_1)n(n三2,n^N*).当n=5时，求°0+。1+。2+。3+。4+。5的值.a设b=严，T=b2+b3+b4+-+b.试用数学归纳法证明：当n±2时，T=n2n—3 n2 3 4 n nn(n+1)(n—1)3 -解：⑴当n=5时，

原等式变为(x+1)5-a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5令x二2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35-243.(2)因为(x+1)n二[2+(x-1)]n，所以a2二C/・2n-2b=-a^二2C2二n(n-1)(n22)n2n-3 n①当n_2时.左边_T2_b2_2，右边二2(2+1)(2-1)_2,左边二右边，等式成立.②假设当n_k(k±2,k^N*)时，等式成立，即T_k(k+1)(k-1)成立k那么，当n二k+1时，左边二t+b_k(k+13(k-1)+(k+1)[(k+1)-1]_k(k+13(k-1)+k(k+1)kk+1二k(k+1)€』+1„€3丿_k(k+