数学七年级下册-第一章8、角的表示

一、角

1、角的表示青岛版七年级数学1、角的两种定义定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。定义二：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线旋转时经过的平面部分叫角的内部。2、平角、周角的概念3、角的四种表示方法角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。公共端点顶点射线射线边边角的定义:角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而成的.平角及周角的定义:一条射线绕它的端点旋转,当终边与始边成一条直线时,所成的角叫做平角.终边继续旋转,当它又和始边重合时,所成的角叫周角.说一说生活中的角练一练

1、下面的四个图形哪些是角?（1）×(2)×(3)×(4)√2、判断题：（1）两条射线组成的图形叫角。（）

（2）角的大小与边的长短无关。（）

（3）角的两边是两条射线。（）

3、下列语句正确的是（）A.两条直线相交，组成的图形叫做角B.两条有公共端点的线段组成的图形叫角C.两条有公共点的射线组成的图形叫角D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫角D√√×角的表示方法OABOαO1记作：用三个字母∠AOB或BOA

或用角的顶点∠O（当角的顶点处只有一个角时）用希腊字母记作∠α用小写的数字记作∠12、把图中的角表示成下列形式,哪些是正确?哪些不正确?∠APO(2)∠AOP∠OPC(4)∠OCP(5)∠O(6)∠PPCAOBACBADC试一试⑴⑵用适当方法分别表示下图中的每个角在不引起混淆的情况下,也可以用角的顶点来表示这个角.∠BAC∠BAC,∠CAD,∠BAD或∠A∠2∠5∠BCE∠BAD∠BAC∠1∠3∠4∠ABC∠BCA将图中的角用不同方法表示出来并填写下表2134BADCE54,角的比较：即和差倍分的表示角的平分线从一个角的顶点引一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线反之，也成立∵OB是∠AOC的角平分线∴∠AOB=∠BOC=∠AOC或∠AOC=2∠AOB=2∠BOCABCO我们还可以拼出∠α的3倍角、4倍角……，还可以拼出两个角的和、差.1.如图OC、OD分别是∠BOD和∠AOB的角平分线，那么∠BOC=∠____=___

∠BOD=_____

∠AOC=____∠AOB试一试COD2.如图，在∠

AOC的内部画射线OB，在∠AOC的外部画射线OD.分别是∠AOC

是哪两个角的和？∠

BOD是哪两个角的和？当∠AOB=∠COD时，你能找出其它相等的角吗？由图形可以看出，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，即∠AOC=∠AOB+∠BOC；同样的，∠BOD=∠BOC+∠COD；当∠AOB=∠COD时，

解：∠

AOC=∠

BOD.练习如图：已知∠1=∠3，那么（）.A.∠1=∠2B.∠2=∠3

C.∠AOC=∠BODD.∠1=C1.练习A2.3.B练习4.如图，∠AOC=

+

；∠AOD-∠BOC=

+

；∠DOC=∠AOD-

；∠AOD=

+

+

；∠AOB∠BOC∠COD∠AOB∠AOC∠AOB∠BOC∠COD当堂检测：1.已知∠α

，用放大10倍的放大镜看∠α

，通过放大镜观察到的角为∠β

，则∠α______∠β

（填“>”、“<”或“=”）.2.如图，①若AC平分∠BAD,那么∠_____=∠______；②若∠BCA=∠DCA,那么

是_________的平分线.=CABCADCA∠BCD当堂检测：3.如图，①∠AOB____∠AOC，∠BOC_____∠AOC，∠BOD_____∠COD；

②如果∠AOC=∠BOD，那么∠AOB_____∠COD.

（填“>”、“<”或“=”）.=<<>5.角的度量1、角的度量单位角的度量单位是度、分、秒，是六十进制1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″1个周角的360分之一是1度的角，记作“1°”例计算：把18°25′12″化成用度表示的角.解：所以18°25′12″

=___________°.先把12″

化成分，即12″=（12

）=0.2′再把（25+0.2）′化成度，即（25+0.2）′=（25.2）°=0.42°，18.42°

用度、分、秒表示：

⑴0.75°＝

′＝

″

⑵(－)°＝

′＝

″

⑶16.24°＝

°

′

″

⑷34.37°＝

°

′

″415

用度表示：

⑴1800″＝

°

⑵48′＝

°

⑶39°36′＝

°

⑷27°14′＝

°452700169601614243422120.50.839.6尝试练习1.周角、平角、直角①特殊度数角的分类6角的分类②和特殊角的分类③特殊位置较的分类2.小于180°的角分为：

直角、锐角和钝角分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数，它们分别是直角、锐角还是钝角？

巴黎时间伦敦时间北京时间东京时间30°0°120°90°

锐角钝角直角试一试三、角的度量方法：（1）叠合法

（2）度量法度量角的工具——量角器如何用量角器度量一个角？如何用量角器画指定度数的角？用你的量角器度量一下图9—14中的角，看看你量的度数是否和课本中答案相同.请学习课本P.10例1（注意：课本中的图形较小，你如何处理？）例2已知∠α=37°50′，∠β=52°10′求∠α+∠β与∠β－∠α解：因为∠α=37°50′，∠β=52°10′所以∠α+∠β=（37°+52°）+（50′+10′）=89°60′=90°∠β－∠α=（52°-37°）+（10′-50′）=（51°-37°）+（60′+10′-50′）=14°20′四、余角和补角的性质1.余角和补角的定义如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，简称“互余”.如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称“互补”））A

B

CO

21)（21AOBC图1）（ABODC图2图3在图1、图2、图3中找出互余的角和互补的角.1.余角和补角的性质同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等））））1234ABCDEO已知，如图∠AOC=∠BOD=∠COE=90°，找出（1）互余的角；（2）互补的角；（3）相等的角.（直角均除外）（1）∠1与∠3，∠1与∠4，∠1与∠3，∠1与∠4；（2）∠1、∠2与∠AOD，∠3、∠4与∠BOE；（3）∠1=∠2，∠3=∠4小组讨论：练习1.下列各对图形一定是互为余角的是（）

ABCD2.如果，那么的补角等于（）A.20°B.70°C.110°D.160°BD练习3.∠α与∠β的度数分别是2m-67和68-m，且∠α与∠β都是∠γ

的补角，那么∠α与∠β的关系是（）.

A.互余但不相等B.互为补角C.相等但不互余D.互余且相等C解析：因为∠α与∠β的度数分别是2m-67和68-m，∠α与∠β都是∠γ

的补角，所以∠α=∠β。即2m-67=68-m解得m=45所以∠α=∠β=2*45-67=23°即∠α+∠β=46°＜90°，所以∠α与∠β相等但不互余。实验与探究一在两条直线相交所得的四个角中，每两个角在顶点、边上各有什么特点？ABCD4321)

)))O下图中的∠1和∠2是对顶角吗？为什么？练习121图1ABCDO下图中的∠1和∠2是对顶角吗？为什么？练习121图221图3下图中的∠1和∠2是对顶角吗？为什么？练习11图32下图中的∠1和∠2是对顶角吗？为什么？练习121图4ABCDO下图中的∠1和∠2是对顶角吗？为什么？练习1试一试BOA动动脑、动动手：你能画出∠AOB的对顶角吗？)CD)BDE如图，直线AE、BD相交于点O，∠AOB的对顶角是

，∠BOE

的对顶角是

.∠EOD∠AODO练习2A21))猜想ABCD43))对顶角在数量上有什么关系？你可以用那些方法进行验证？实验与探究二对顶角相等交流与发现请讨论：相等的角是对顶角吗？（可以画图举例说明）如图，直线AB、CD交于点O，ABCDO（3）∠AOD的邻补角有什么关系？如果说：“两个角是对顶角，那么它们的邻补角一定也是对顶角”这句话对吗？（4）当∠AOD=90°时，其余三个角各是多少度？（2）如果∠AOD

＝105°，求其余各角.（1）指出∠AOD的对顶角与邻补角.例题答案：（1）∠AOD的对顶角：∠BOC∠AOD的邻补角∠AOC∠BOD（2）因为∠AOD=105°，∠BOC为∠AOD的对顶角，所以∠BOC=∠AOD=105°因为∠AOC、∠BOD为∠AOD的邻补角所以∠AOC=∠BOD=180°-∠AOD=180°-105°=75°（3）∠AOD的邻补角互为对顶角如果说：“两个角是对顶角，那么它们的邻补角一定也是对顶角”这句话对吗？正确（4）当∠AOD=90°时，AB⊥CD所以∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°如图，AB、CD、EF是经过点O的三条直线，找出图中所有的对顶角.

练习3ABCDEFO对顶角：∠AOC、∠BOD∠BOC、∠AOD∠AOE、∠BOF∠AOF、∠BOE∠COE、∠DOF∠COF、∠DOE动脑筋若3条（4条·······n条）直线交于一点O，要找出所有的对顶角，按怎样的方法找，才能做到不重不漏？ABCDEFO结论：对顶角：n(n-1)二、垂直垂直的定义与表示法垂线的画法垂线的性质点到直线的距离垂直ADClmOB概念1.垂直２.垂线３.垂足表示法ＡＢ⊥ＣＤ

m⊥l垂直的定义与表示法是什么?∠BOC=90°

在两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足例：如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB.已知∠BOD=45°，求∠COE的度数.ABODCE┓答案因为OE⊥AB所以∠BOE=∠AOE=90°因为∠BOD=45°所以∠DOE=45°因为∠DOE与∠AOC互为对顶角所以∠AOC=∠DOE=45°所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°=135°（2007年济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）

A.相等B.互余

C.互补D.互为对顶角ABCDEFO12中考链接B返回方法一:用三角尺lAＢ012345678910012345012345012345678910012345012345活动一：已知直线l，分别过直线外一点B和直

线上一点A，画l的垂线，你有几种画法?画垂线的方法画垂线的方法可归纳为“一落、二过、三画”3.三画：沿着直角边经过已知点画直线。ABP1.一落：把三角尺的一条直角边落在已知直线上；

2.二过：让三角尺的另一条直角边经过已知的点如何画一条线段或一条射线的垂线？画已知线段、射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段、射线所在的直线的垂线.CBA012345678910012345012345012345678910012345012345拓展1、过点向线段所在直线引垂线，正确的是（）.

ABCD试一