中考数学黄金知识点系列专题15等腰三角形

专等三形聚焦考点☆温习理解一等三形1、等腰三角形的性质（1等腰三角形的性质定理及论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角角可为钝角（或直角③等腰三角形的三边关系：设腰长为，底边长为b则

<a④等腰三角形的三角关系角为顶角为A角∠∠A=180°∠B

18022、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二等三形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角等于的等腰三角是等边三角.三线垂平线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线.名师点睛☆典例分类考典一等三形性【例1（2016山滨第6题图eq\o\ac(△,，)中为AB上点为BC上一AC=CD=BD=BE∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【答案】D.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．【举一反三】（2016山枣第4题如图，在ABC中，

=30°为BC延长线上一点ABC与∠的平分线相交于点，则∠等AB．17.5°．20°．22.5°

ABC第4题图【答案】A.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定.考典二等三形多问【例2】(2016湖怀第8题等三形的两边长分别为4cm，则它的周长为（）A．16cmB．17cmC．20cmD或20cm【答案】C.【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是长为8cm种情况：①当腰长是4cm时则三角形的三边是4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满三角形三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，角形的周长是20cm．答案选C．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】（2016湖湘州14题一个等腰三角形边长为4cm，另一边长为，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD以上都不对【答案】C.【解析】

33考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．考典三等三形性与定【例3年福龙第15题）图，△ABC是等三角形BD平∠ABC，点在BC的延长线上，且CE=1，，则BC=．【答案】2.【解析】试题分析：∵△ABC是等边三形，∴∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平∠ABC，∴∠E=30°BD⊥AC，∴，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2.考点：等边三角.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决．【举一反三】（2016四达第15题）图P等边三角形内点，将线段AP绕A顺针旋转得到线段AQ，连接．PA=6，则四边形APBQ面积为．【答案】24+9．【解析】

考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．考典四线垂平线性运【例3湖南沙17）图，△ABC，AC=8，BC=5的直平分线DE交AB于，交边AC于点E，则△BCE的周长为．【答案】．【解析】试题分析：已知是AB的直分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13考点：线段的垂直平分线的性.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．【举一反三】（2016山威第10题）图，在△中∠B=∠C=36°的直平分线交BC于D，交于点H，AC的垂直平分线交BC于E，AC于，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）

A．=B，AE将∠三等分C．△ABE≌△ACDD

【答案】．【解析】考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合.课时作业☆能力提升一、选择题1.（2016湖南西第14题）个等腰三角形一边长为，另一边长为5cm那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为腰三角形的腰和为等腰三角形的腰两种情况：①当为腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符三角形的三边关系，周长为1；当5cm为等腰三角的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．2.（2016川孜第9题如，在△中，平∠ABC，∥BC，已知AB=3，=1，eq\o\ac(△,则)的周长为（）A．2BC．4D．5【答案】．【解析】考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．3.（2016辽营第8题如图，在△中，∠=90°，分别以点和为心，以相同的长（大于

12

AC）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于，交AC点E，连接．下列结论错误的是（）A．AD=

B．∠=∠DCE

C．∠ADE=∠DCB

D．∠=2∠DCB【答案】．【解析】试题分析：∵是AC的垂直平线，=，=，故正∴DE∥BC∠∠DCE，故正，∴∠=∠CDE=∠DCB故正，故选D．

考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．4.（2016河南6题如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10.DE直平分AC交AB于E，则DE的长为【】（A）6（B（C）4（D【答案】D.【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定.5.（2016北16题）图，AOBOP平分∠AOB且=2.若点M，分别在，上，且△PMN为边三角，则满足上述条件的PMN有（）第16题图A．1个

B．2个C．3个D．3以上【答案】d.【解析】试题分析：Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ，一个M其中一个和O点合2个反向延长线上，有一个，故答案选D.考点：等边三角形的判定.

6．在平面直角坐标系中，点A（

2

，

2

（

3

，

3

点C在轴，以A、B、三为顶点的三角形是等腰三角形，则点C个数为（）A．2B．3．4D．5【答案】．【解析】考点：．腰三角形的判定2坐标与图形性质3．分类讨论；．综合题；5．压轴题．（2016山滨州6题如图，中D为AB上一点E为上一，且，∠A=50°则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【答案】D.

【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．二、填空题8.贵州义14）图，在△中AB=BCABC=110°的直平分线交AC于点，连接，∠=

度．【答案】．【解析】试题分析：∵在中ABBC，，∴=∠C=35°，AB的垂直平分线DE交AC于D，∴AD=BD，∴∠=∠A=35°故答案为：35．考点：线段垂直平分线的性质．9.（2016江苏苏州第17题）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°点D、分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿在直线折叠到△′（点B′在四边形ADEC内连接AB′，则AB′的长为．【答案】7.【解析】试题分析：过点D作⊥B于点，过点′作B′G于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，是等

1边三角形，∵△B′DE≌△BDE，′F=B′E=BE=2，DF=23,∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=23，∵AB=102∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：轴称2等边角形.10.湖随第12题）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x﹣8x+15=0的，则该等腰三角形的周长为．【答案】19或21或23．【解析】考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．11.（2016广西池18题）图的三角形纸片中=BC，C=30°，折叠这个三角形，点B落在的中点D处，折痕为EF那么的长为

．【答案】

143

．【解析】试题分析：过D作DH，过点A作⊥BC于点，∵AB=，∴∠∠=30°，根据折叠可得D=，∠=∠B=30°=，=12，∴=NC=6，点B落在AC的中点D，∥DH∴=HC=3cm

∴=330°=（cm=DF=xcmFH﹣﹣3=9﹣eq\o\ac(△,Rt)中DF

2

2

FH

2

，故

22(9)

，解得：x

141414，即BF的为：．故答案为：．333考点：翻折变换（折叠问题12.（2016蒙通第14题）腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°则该等腰三角形的底角的度数为．【答案】69°或．【解析】考点：等腰三角形的性质；分类讨论．13.（2016福建平16题）图，等ABC中，CA==4∠ACB=120°点D在段AB上动（不与A、重合CAD△分别沿直线CA翻折得到CAP与△，给出下列结论：①==；

②∠的大小不变；③△面积的最小值为

3

；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结的序号是．【答案】①②④．【解析】③如图点作QE⊥交延线于E∠∠=60°eq\o\ac(△,Rt)QCE∠=

CQ

，∴=×tan∠=CQ×tan60°=，∵CP==，∴=eq\o\ac(△,S)

11×QE=×3CQ=22

32

CD

2

，∴最短时，最，即：⊥时，CD最，点C作CF，此时就是最短的，∵AC，eq\o\ac(△,S)PCQ=120°，∴ABC=30°，=

12

BC=2，即CD短为2∴=eq\o\ac(△,S)

3=2=2，③错22误；④∵将△与分别沿直线CA翻折得到△与CBQAD，DACPAC，∵DAC=30°，

33∴∠APD=60°，∴是等边三角形，PD，ADP=60°同理BDQ等边三角形，DQ=，=60°，∴=60°∵当点D的点，ADBD，=，eq\o\ac(△,∴)DPQ等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题14.（2016川州15题）图P是等边三角形内点，将线段AP绕A顺针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若，PB=8，PC=10，则四边形的面积为．【答案】24+9．【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．15.（2016湖南沙17）图，△ABC中，AC=8，AB的垂直平分线DE交AB于，交边AC于点E，则△BCE的周长为．

【答案】．【解析】考点：线段的垂直平分线的性.16.（2016南底17题）图，将△ABC直线DE折叠，使点C与点A重合已AB=7，BC=6则△BCD的长为．【答案】．【解析】试题分析：将△沿线DE叠后，使得点A与点合，由折叠的性质可得AD=CD，由，BC=6，可得△的周长考点：翻折变换（折叠问题三、解答题17.（2016山淄第22题分图知ABC平分BAC交于点DBC的中点为M∥AD，交BA的延线于点E，交于．（1求证：AE=AF；（2求证：BE=（AB+AC【答案）详见解析）见解析

【解析】∴BE=

11BG=（BA+AG）=22考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．18.（2016南化17题）图，已知．（1求证：△ADB≌eq\o\ac(△,；)（2）OA与OB相吗？若相等请说明理由．

【答案】(1)详见解析）OA=OB理由详见解.【解析】考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．19.（2016西池21题）图AEBF平分∠BAE交BF于C．（1尺规作图：过点B作的线，交于，AE于D留作图痕迹，不写作法