专题29异面直线所成的角-教师版

典高数试解与式2018版考29：面线成角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线直线与平面、平面与平面的夹角的计算问.2.了解向量方法在研究立体几何题中的应.【命题规律】异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考.预计2018年高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【型考题式（）间线直夹的题例【2017全国3卷理，为间中两条互相垂直的线，等腰直角三角形的直角边AC所在直线与a

，

都垂直，斜边

以直线

为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与a成角，与角②当直线与a成角，与角③直线AB

与a

所称角的最小值为

45

；④直线AB

与a

所称角的最小值为；其中正确的________.（填写有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，，，AC三直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1故，AB2，边AB直线AC为转轴旋转，则点持不变，点运轨迹是以为心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为

x

轴正方向，轴正方向，CA

为z轴正方向建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A，直线

a

的方向单位向量

a

，

．点始坐标为

(0,1,0)

，

直线b的方向单位向量

(1,0,0)b．设B在运动过程中的坐标

B

，其中为CD的角，

[0,2π

．那么'

在运动过程中的向量AB

，

．当

与夹为即

，

2cos

cos

3

2

1．22因为cos

，所以cos

2．所以cos．2因为

π0,

．所以

=

，此时

与b夹角为60以正确，①错误．故填②③.【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证.一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的.【变式例中条件两直线的夹角浙文知面四边形ABCD，AB=BC=3CD=1AD=

，∠ADC=90°.沿直线AC将ACD翻成△直线AC与BD'成角的余弦的最大值______.【答案】

66

【解析】试题分析：如图，连接BD，设直线

AC

与

所成的角为

．O

是

的中点由知得6，

OB

为轴

OA

为轴过

O

与平面

垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则

6300)，B(,0,0)，C,0)作222于HD翻过程中始与垂，CH

CDCA

166

，则OH

63

，

3，因此D'(63

36

设∠DHD′=3030630则BD',,66

uur，平的单位向量为

n

，zD

HAx所以

,n

BD'BD'n

＝

，所以

cos

，cos得最6大值，为．6【变式二改编例题中结论，解态问题浙江嵊州市二模】在四棱柱BCD11

中，

AA

平面

AC1

底

ABCD

是边长为

的正方形侧棱

AA1的长为，

为侧棱

BB1

上的动点（包括端点（）

A．对任意的

，

，存在点

，使得

DEC1B．当且仅当a，存在点，使得DEC11C．当且仅当a时存点E，得DEC11D．当且仅当

a

时，存在点

，使得

BDEC11【答案】（）面线夹例【全国2卷理知三棱柱

C中ABC120，，11BC1

，则异面直线

AB

1

与

BC1

所成角的余弦值为（）A．

B．

155

π152π152πC．

105

D．

【答案】【解析】M，N，P

分别为

，，BC中，则，夹角为MN和NP夹或其补角（异面线所成角为，知，NPBC，222作中Q则可知△为角三角形．PQ，

AC△，AC

AB

，

则MQ

7，则△MQP中MPMQ，22则△中

22PM2

22

.又异面线所成角为0，，余值为．故选C.25【方法技巧归纳1.利用向量法求异面直线所成角的步骤

222．注意向量法求异面直线所成与向量夹角的区别，尤其是取值范围．【变式1编目条件和结，利用向量法求解东北师大附中、哈尔滨师大附中辽宁省实验中学四模知四棱锥

ABCD

中，PAAB2,

分别是,的中点，则异面直线AE与所角余弦值为（）A.

B.

C.

1D.【答案】【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知

.2,0

．则

2,

，则

cos,

BF

1121122

１６

．故本题答案选C．

【变式2编目条件和结，利用普通方法求解届北省邢台市高三上学期第二次月考】如图，在四棱锥PABCD中PO面，

为线段

的中点，底面为菱形，PCa

则异面直线与PC所成角的正弦值）A.

5B.C.5

D.

【答案】【解析】如图，

AC,DB面从DO，EO,DB所以DE4OD5sinDEO故，故选B.DE55

2

2

a

【数学思想】1.转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解当然包括解)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵.2.转包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则（）悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；（）观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（）单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解.（）难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（）维度原则：将高维度问题转化成低维度问4.转化与化归的基本类型（）正反、一般与特殊的转；（）常与变量的转化；（）数形的转化；（）数各分支之间的转化；（）相与不相等之间的转化（）实问题与数学模型的转.5．常见的转化方法（）接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（换元法运“换元”把标准形式的方程不等式函数转化为容易解决的基本问题；

（）数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（）造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（坐标法以标系为工具用数方法解决解析几何问题是化方法的一种重要途径；（）比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（）殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（）般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（）价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（）集法难反）若正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集，通过解决全集U及集获得原问题的解.立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解.【间的围理误意】解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问.【例题练1届河省武邑中学五模】正四面体ABCD中，M是AD的中，是点底面BCD内射影，则异面直线BM与AO所角的余弦值为（）

在A.

2B.C.D.5【答案】【解析】6如图，设正四面体的棱长是1，则BM，高AO2

，设点M在

底面内的射影是N，MN

，所以BMN即所求异面直线所成角则NM2cosBM

，应选答案B。2届南省六市高三下期第二次联考】如图，

G

，

，M，

分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示

GH

，

MN

是异面直线的图形的序号为（）A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】3届川省广元市高三第三次高考适应性统考于面体

,有以下命题①若

,则点

在底面

内的射影是

的外心；②若,

,则

在底面

内的射影是

的内心；③四面体的四个面中最多有四个直角三角形若四面体表面积为.其中正确的命题是A.①B.③④C.①②D.【答案】

的6条长都为1,则它的内切的

2222【解析】由题设

，故顶点

在底面内的射影是底面中心，故命题①是正确的；四面体中的四个面中最多有四个直角三角形，如图，故命题③是正确的；对于命题②，如图，尽管,,点

在底面

内的射影不是

的内心，即命题②是错误的；33若四面体的6条都为1，则它体积V432

，又设内切球的半径为r

则

2V12

则

S

即命题④也是正确的。应选答案D4届西省临汾市高三前适应性训练】已知平，及直线a,b（）

下列说法正确的是A.若线,b

与平面所成角都是30

，则这两条直线平行B.若线,b与面所成角都是30，则这两条直线不可能垂直C.若线a,b

平行，则这两条直线中至少有一条与平平D.若线a,b垂，则这条直线与平面可能都垂直【答案】【解析】解：由题意逐一分析所给的选项：若直线b

与平面

所成角都是

，则这两条直线不一定平行；若直线a,b

与平面所角都是

，则这两条直线可能垂直；若直线a,b

平行，则这两条直线中可能两条都与平面

不平行；若直线a,b

垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直；本题选择选项

5届北省张家口市高三上学期期末考试棱柱

中，

为等边三角形，平面，，，分是，A.B.C.D.

的中点

与

所成角的余弦值）【答案】【解析】三棱柱

中，

为等边三角形，如图：

的中点为，结

，则有，有

所四边形

为平行四边形所，在

或其补角即为所求不设则中，由余弦定理可得：，故选C.6届吉林省百校联盟高TOP20九联考】如图，在长方体

D1

中，AB，BB长方体外的一点点P作线l直线l与线，1

的夹角分别为，，1

1

2

件直l（）A.有1条B.有2条C.3条D.4条【答案】【解析】由题意有：

,,即：

sin

1

2

考与直线

AC,C111

所成的角相同的直线，其在平面

ADCB11

内的射影应该平分

AC11

，这样的直线只有1条同理其补角也存在1条满题意的直线，这样找到满足题意的直线，同理，在处可以找到2条满题意的直线；综上可得：满足条件的直线

l

有4条。本题选择选项7届西省西安市西北业大学附属中学高三下学期第六次模拟】在正三棱柱AB中，AB2111

，则

与

BC1

所成角的大小为()A.

B.C.D.32【答案】【解析】以为原点,在平面ABC中过AC的线为轴以AC为y轴AA为z轴建空间直角坐标系如图所示，设BB=

,则A(0,0,0),

B2C2AB

3,1,2,CB

1

，∴AB与CB所角的大小为本题选择选项

.

8届西省西安市长安第一中学高三月拟】如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形斜

长为2侧视图是一直角三角形视为一直角梯形，且

BC

，则异面直线所角的正切值是（）A.1B.

C.

D.

【答案】【解析】如图，取

的中点E

，连接CE

，依题意得，

BE//

，所以PBE

为异面直线PB

与

CD

所成角，因为

PEBE

，所以

PE2BE2

，故选C.92017年福建泉州新世纪中模面体中，若

3

，

，

，则直线AB

与

CD

所成角的余弦值为（）A.

B.

11C.D.【答案】【解析】如图所示，该四面体为长方体的个顶点，设长体的长宽高分别为b,

，则：a

2

2

a{224b

，解得：

{b2c3

，问题等价于求解线段AB与线段

'D'

夹角的余弦值，

结合边长和余弦定理可得：直线AB

与

所成角的余弦值为

。本题选择选项10届四川省成都市高中业班第三次诊断检测我古代数学名九算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑

中，

平面，且，则异面直线

与

所成角的余弦值为（）A.B.C.

D.【答案】【解析】由题意，可补形成正方体如下图：

33所以异面直线

与

所成角就是

与

所以角，而

为直角三角形，所以所成角为，。选A.11届西省孝义市高三学期考前热身训练方体

ABCD11

中AAAB2a1111

,点P

在线段

上运动当异面直线

与

BA1

所成的角最大时,则三棱锥

CD11

的体积为()A.

a3aa3B.C.432

D.

3【答案】【解析】如图所示，连结CD，DCP为锐角，CP1