与向量、解析几何相结合的三角形问题

→→→→→oooo→→→→→oooocosB与向量、析几何相结的三角形问题知拓1.三形的角数系A＋；(2)cos(AB)＝C；(3)sinC.2.若G是△ABC的重，GA＋GC＝0.3.在中若A·BC<0，△ABC钝三形

＋＋；(4)cos＝22在ABC中若

b,c

成差列则；若a,成比列则60；若,B,C

成差列则

B

o

5.在角中

0A90，90

，

sincosB,sincos

题分一)三与量的汇现高数教中,向量继数后的条线,穿个中学学,在种题解中着泛作.而向与三知的汇,通常目三函为体,但条件涉一向知如向量坐中含角达然后给向之的行、直关,者向的量表函等,种况在前试中很见.【1南市、城届三级一次拟在中，,B

的边别ab,

已

B，B的值（1）（2）CA，

的．【案（1

cos

（2）10【析（1）正定得

5sinB．用倍公化得cos

）1

2rrr2rrr简量

a

．根余定得B

，后据角角数系及角余弦式

的．（2）为

ABCA，所以cbbacos

，由弦理得2

，．从cosB

2ca522c2

35

，又

0

，以

2

．从

B

32Bcos452

．【评平向作一运工具经与数不式、角数数、析何知结．平向给的式含未数,由向量行或直充条可得到于未数关式在基上可求有函、不式三函、列综问．【试刀设量

rra,c

满

r

，

a

，

rrra,b

，

c

的最值于【案42

22二)三与列的汇数与角数交问也一常问,主题有大类一在三形,一些件数语给,见如角三角A,C成差列；边a成比列等二数通种有角数,们以助角数周性和.【2】知

的长6，BC,CA

成比列则

BA

的值围．【源全百校江省城学2018届高上期末试学题【案

2753

【评“abc

成比列是了出

”一件所,题重是如把

BA

与个件系来【试刀△ABC内

C

所的分为若

ac

成差列证：

sinsinC

；若

ac

成比列求

cos

的小.【析(1)a,c成差列∴a＋c＝2b由弦理sinA＋＝2sinB∵sinB＝π－(A＋＝(＋∴sinA＋sinCA＋∵a,c成比列∴b

＝ac由弦理

a

2

2aa222ac22∵a＋c2≥2当仅当a＝c时等成)

a222ac

当且当a＝时号立)a12ac2

(且当＝时等成)即

12所cosB的小为

12

【评边等关,常用正定转,边等关,利余弦理边关系()角三函的汇【3设数

fx

Ⅰ)求

f

x

的调区；4

32223222Ⅱ)已的内分为BC，若f积，最值.

，且ABC能够盖的大面【析(Ⅰ)三形角和正展利二角式简得fsin3

，令

，解区即；（）f

得A

，题可：

ABC

的切半为

，据线相结图得

b

，结余定得

3

，用值等求值可【

解

析】(Ⅰ)333fxcosxsinxcos22x

kx

Z

f

的调区为

5

,k

Ⅱ)

f

A3A

，以

由弦理知a2

由意知的内圆径

的角BC

的边别b,

，如所可：

bb

2

2

bc

5

4bc

或

（）ABbc

，当仅

时

AB

的小为

令可这转：

r

bc代bc

；4bcABbc

或

（；当仅

时

AB

的小为

【牛刀小】已知

中，角

，B

，

所对的边分别

，

，

c

，若

bcosAc

，

cos

Atan222A2sin2B22

．【案

【析由

bcosAc

可，

5acosBbA

，5Bbcosc

，余弦理得

5a

a22222b2ac

c

，化得6

，ABC，ABC

Atancos22A2tan222

22

tanB

AsinA2tancos

a2ab22b

2222

a22

9525

22

92

，答为.四)三形解几的汇【4江苏常2018届三学期已ABC中，AB

3，ABC所平内在

使PBPC2

，

面的大为_________．【案

【析设

a，BC所直为轴其中线所直为轴建立角标系（如所示），则B

，设

P

，由PBPC2

，

{

(xx

，

{

x

2

y

2

x2y23

3222y

2

，则

{

72

2

2

y

，32y32则

3

，即a2

，解

，

3

，即面积最值

7

CBCB【刀试已知圆：169

与正半y正半的点别

AB

动点

P

是椭上一,

PAB

面的大.【析先求点标再直线程根椭的数程示出到线距,示面,后最

P

的标然再点【评与圆点关范或最问,用数程行三代后,可利正弦有性范或最.五迁运已

O

是角

的接圆,

60

ABmAOsinCB

则数

的为____.8

BBB5222BBB5222【案【析设AB的中为，则

AODO

，代，可得m（*，sinCBsinB由ABDO得·DO，将*式边乘

，简ABADDOsinCB

，即

BCAmcsinCB

，由弦理上得因，

BC2CAmsinCsin

C

，所

cosBcos

，所

BcosAcosCsinC

sin

．答：

．届三京联体校研如图直l上三点直l外一，知AB

BC，，．则PA=_____【案

34【解析，,cosAPBAPB，则55ABBC可得sin＝且PA＝ABABcos

cos229

则PA即案

【江省京多2017-2018学高上期第次考已

的边成比

2

的比列则

最的弦为__________．【案【析由设边分为a,

2a

且2a为最边所对角

由弦理:

a22

江苏省通皋高年第次考】△中若成差列则cosC的小为________

，，tanAtanCB【案【析∵

4，，成差列∴tanACtanBAtantan

，Acos4cosCBAABC4cosC，可得sinsinsinABAsin

，C

sinC22c2，正定和弦理得4sinAsinab4

，简2

2

c

，

C

a

2

22ab126ab63

，答为.5.【苏南市2018届三学学期学调考在ABC中，＝3，AC＝2，∠＝120

，

BM

．

，实的值为_____．【案

10

22122221226.如,径1的形的圆角120°,点在AB,则

上且30

若【案

3【析如所,建直坐系∵30

OC

．

C,sin30

即

,1，120

∴Acos120sin120,即，又B

3122．3

解得

．

3

故案

3

．7.如所在面边ABCD中AB，BC为ACD正三形面的大为．11

【案

3【析在ABC中，∠=α，ACBβ由弦理：2=12+2−−4cos，∵ACD为正角，∴2

−4cos，由弦理：

1ACsinsinα

，∴⋅β=sinα∴⋅β=sinα∵(cosβ)2=2(1sin2βCDsin2α=5−4cos−2−α)∵<∠，β为角CD⋅β=2−cos，∴

SBCD

CDCD22

sinsin

，当

时

(S)3VBCDmax

．如图现一为圆角湖OA与OB为半的形面AOB.现欲在AB

上不于B

的

，渔沿弧

AC

（

AC

在形

AOB

的

上半OC和段（其/

在形湖内处个殖域——殖区I和养殖域II.若

，

AOB

，

求所需网（图弧AC、半OC和线CD长度之）最值______.12

【案

3【

解

析】

由

CDP，AOB

，AOC

，

得2OCD，在

VOCD

中由弦理得

2CD（333设网长为

2（333所

f

2（为3

所以33令f，得

，以所以．66

0）

（，）f所最大值

极值3，答为

．在

V

中，角BC

所对的边别为b,c

，若

a

，

c2

，且，VABC的面积．【案

13

062260622610．△ABC中，A、B、C所的为a、b、c若a、b、c成等数，且cos

，则

tanAC

的是【案【析因bc

成比列所2ac

，正定，2BsinC

，因

3cos且，以sinB，则5tansinsinCAsinAsin；故填.sinsinCsinBB33【2018届苏泰中高10月考在中角,

所的分为a,b,

，为锐三形，满

ac

，

tanAtan

的值围是．7【案【解析】由正弦定理得：

sinsin2AsinC

由降幂公式得AB

sinC

，结和化得

在三角形中得B2,以

由三形为锐角三角形得：

A

B3

1,BBtanAsin

，∵

B

，

33BtB,1

，函

y在递减所t

7，填

12【江省皋2017--2018学年度三级一期学量研在求角的小14

中

若

CD

，足

，

CD

，

面的小.【析（1由

，两平CB

，即

CB

，到

2即CA

。所

（2）直

ADC

中

CD4sinA

，在角

中BC

CDsin

，又

A

，以

Bsin

AA

，所S

ABC

12sinBAcosAsin2A

，由+

得

2A

，

A

，当仅A

时

max

，从

min

．【江省启东中2018届三上第二次月考】已数fx2coscosxx3

求数

f

的小周；在

ABC

中角C

的边别,b,

若角

满

，C6

且，的面.【析(1)

fx2cosx2sincos336cos2x63所，数最正期

2

Qf

,2sin2A.3215

2212

2因A为锐，以333

所，A6

，A,由弦理

c得出asinsin所，

BcosCAsinC

所

162acsin2314【苏丹阳级学2018届高上期中的内B，C对分为a，b，c．量

m，

nA

，且n．（1）A的大；（2）

，

的．【析（1因m，所m，sinbA

．由弦理，

sinB

，所sinAB3B

．在ABC中，

B

，