专题5折叠问题

折叠问题折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查得较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识来设题．根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题．折叠后图形判断1．(2014·宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是()D【解析】根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断．2．(2014·黔南州)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是(

)A．AB＝CD

B．∠BAE＝∠DCEC．EB＝EDD．∠ABE一定等于30°D3．(2014·南宁)如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(

)A．正三角形

B．正方形C．正五边形

D．正六边形A对折叠图形的判断，可以通过空间想象，找出相等的边与角，转化为角度的判断．折叠后求角的度数1．(2014·赤峰)如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，

求∠DAF的度数．

解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°－55°＝35°，∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°2．(2014·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，求∠A的度数．【解析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠MCD＝∠MCA，从而求得答案．解：∵在Rt△ABC中，CM是斜边AB上的中线，∴AM＝MC＝BM，∴∠A＝∠MCA，∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，∴CM平分∠ACD，∴∠ACM＝∠MCD，∵∠A＋∠B＝∠B＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴∠BCD＝∠DCM＝∠MCA＝30°，∴∠A＝30°3．(2014·徐州)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，求∠CBE.∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝(180°－50°)＝65°，∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝65°－50°＝15°4．(2014·牡丹江)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求tan∠EAF.在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边．折叠后求长度1．(2014·黔东南州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．【解析】设BE＝x，则CE＝16－x，根据翻折的性质可得AE＝CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，利用勾股定理列式计算即可得解．2．(2014·新疆)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角(∠A，∠B)向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，求EF的值．【解析】先根据折叠的性质得EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD为矩形，在Rt△DHC中，利用勾股定理计算．3．(2014·舟山)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E，F分别是CD和AB的中点．现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH.若HG的延长线恰好经过点D，求CD的长．∵点E，F分别是CD和AB的中点，∴EF⊥AB，∴EF∥BC，∴EG是△DCH的中位线，∴DG＝HG，由折叠的性质可得∠AGH＝∠ABH＝90°，∴∠AGH＝∠AGD＝90°，在△AGH和△AGD中，îïíïìHG＝DG，∠AGH＝∠AGD，AG＝AG，∴△ADG≌△AHG(SAS)，∴AD＝AH，∠DAG＝∠HAG，由折叠的性质可得∠BAH＝∠HAG，∴∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝13∠BAD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AD＝4，∠BAH＝30°，∴HB＝2，AB＝23，∴CD＝AB＝23

4．(2014·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，求DE的长.

在折叠问题中，利用对称性可得到相等的线段，通过三角形相似、勾股定理列出方程求解．折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理．折叠后求周长、面积1．(2014·孝感)如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，BE，若△ABE是等边三角形，求S△DCES△ABE的值．

【解析】过E作EM⊥AB于M，交DC于N，设AB＝AE＝BE＝2a，求出EN，根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，即可得出答案．2．(2014·上海)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，用含t的代数式表示△EFG的周长．【解析】根据翻折的性质可得CE＝C′E，判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．3．(2012·泰安)如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB＝2，BC＝3，求△FCB′与△B′DG的面积之比．4．(2014·长沙)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积．

在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积．折叠后结论探究1．(2014·遵义)如图，二次函数y＝43x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C.若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标；(2)当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．2．(2014·河北)图①和图②中，优弧AB︵所在⊙O的半径为2，AB＝23.点P为优弧AB︵上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A?.

(1)点O到弦AB的距离是____，当BP经过点O时，∠ABA′＝

；160°(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；(3)若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．3．(2013·龙岩)如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3＋1，AD＝3.

(1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D?处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为____；

(2)如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为