二次函数图像与系数的关系

二次函数的图象与性质

1.已知抛物线y＝－x2－2x＋m.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）

(3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______.(4)若抛物线与x轴没有交点，则m______。＝＞=-1<-1典型例题例1

抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，对称轴是直线x＝－1．（1）确定a，b，c，D的符号．（2）求证a－b＋c＞0．（3）求当x取何值时，y＞0；当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＝0．

例1

抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，对称轴是直线x＝－1．（1）确定a，b，c，D的符号．（2）求证a－b＋c＞0．（3）求当x取何值时，y＞0；当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＝0．

分析:弄清系数与图象间的关系是解题关键，主要从a，b，c，－，D的符号加以判定．当x＝－1时，y＝a－b＋c可利用图象观察符号．例1

抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，对称轴是直线x＝－1．（1）确定a，b，c，D的符号．

解：（1）抛物线开口向下，故a＜0．∵对称轴x＝－1在y轴的左侧，∴x＝－＜0．∴b与a同号，b＜0．∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0．∵抛物线与x轴有两个交点，∴D＞0．例1

抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，对称轴是直线x＝－1．（1）确定a，b，c，D的符号．（2）求证a－b＋c＞0．

解：（2）当x＝－1时，y＝a－b＋c，从图象可知，a－b＋c＞0．例1

抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，对称轴是直线x＝－1．（1）确定a，b，c，D的符号．（2）求证a－b＋c＞0．（3）求当x取何值时，y＞0；当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＝0．

解：（3）观察图象可知：当－3＜x＜1时，y＞0；当x＜－3或x＞1时，y＜0；当x＝－3或x＝1时，y＝0．练习（一）选择题：

1．已知a＜0，b＞0，那么抛物线y＝ax2＋bx＋2的顶点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

A判断符号a、b、c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c思考41-1例4、判断符号

a、b、c、

2a+b、2a-b、

b2-4ac、

a+b+c、a-b+c、

4a+2b+c、4a-2b+c

1-15.已知抛物线y=x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。(1)证明:

∵△=22-4*(-8)=36>0∴该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:∵抛物线与x轴相交时x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6

又∵而P点坐标是(1,-9)∴S△ABC=27应用：已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：

(1)求函数解析式

(2)求四边形OBCD的面积oBCD13－4把x=3，y=0代入解析式得0=4a－4a=1∴y=（x-1）2–4解：由图知顶点坐标（1，-4），图象经过D点（3，0）

xy∴设函数解析式为y=a（x-1）2–4求不规则的四边形的面积通常利用“化归思想”把它转化成三角形和特殊的四边形的面积进行求解(2)求四边形OBCD的面积y=（x-1）2–4oBCD13xy-4∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=-3=3GE－4=OB×GC+OD×EC=2121215连结OC设法利用点的坐标表示相关线段的长，注意带上绝对值oBC13xyEDGS四边形OBCD=S⊿OBC+S⊿OCD∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=GC=1，OD=3，ED=OD-OE=2，EC=-4=4∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3=（OB+EC）OE+ED*EC=∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=1，OD=3，ED=OD-OE=2，EC=41212215oBCD3xyE-41∴S四边形OBCD=S梯形OBCE+S⊿ECD∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3S四边形OBCD=

S矩形OGHD－S⊿GCB－S⊿CHD=-4G∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=1，OD=3，ED=OD-OE=2，EC=4

OG=EC=DH=4，GC=OE=1，GB=1，CH=ED=2H过D点作DH⊥x轴，交GC的延长线于H点215oB13xyEDC

∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=1，OD=3，OG=EC=4，GB=1

OG=EC=4，GC=OE=1，S四边形OBCD=

S梯形OGCD－S⊿GCB=（GC+OD）×OG－GC×GB=2151212oBCD13xy-4GE∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3oBCD13－4xy练习解答题：

1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的形状与抛物线

y＝x2＋3相同，它的对称轴是x＝－2，它与

x轴两个交点间的距离为2，求：（1）图象与x轴两交点的坐标；（2）确定二次函数解析式．练习填空题：

2．如图，抛物线y＝－x2＋2（m＋1）x＋m＋3

与x轴交于A，B两点，且OA︰OB＝3︰1，则m＝________．０abc2a+b2a-bb2-4ac

a+