Hill密码的加密与解密-矩阵

Hill密码的加密、解密与破译数学实验上海交通大学数学系即使埃斯库罗斯被人们遗忘，阿基米德仍会被人们记住，因为即使语言文字会消亡,数学概念也不会消亡。

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G.H.Hardy

现代数学家象其他从事科学的人们那样，在应用他们的原理方面化费的心血比在了解这些原理方面多得多。

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G.B.Berkeley密码的故事ConanDoyle创作的歇洛克.福尔摩斯这段符号的译文为

AMHEREABESLANE.吕贝卡的故事－007的故事舞蹈人形战争和和平时期的间谍战基度山伯爵（大仲马）谁最先使用密码？密码学

—Cryptography源于希腊文字：秘密＋书写，古老神秘的学科JuliusCaesar

(恺撒)密文：Kh

lv

wkh

uxohu

ri

dqflhqw

Urpd明文：HeistherulerofancientRoma目的将信息传递给己方的接收者防止敌方知道信息的内容主要缺陷：字母出现频率不变密码学名词明文需要采用某种方法对其进行变换来隐蔽它所载荷的信息或字符串加密过程将明文变换成另一种不能被非授权者所理解的隐蔽信息的消息或字符串的过程明文经过加密过程的变换所得的消息或密文字符串将明文变为密文的变换加密变换解密变换将密文变为明文的变换密钥加密变换所使用的参数发送者简单的加密解密过程模型明文密文普通信道接收者明文窃听、干扰加密器解密器HILL2密码明文分组(两个一组)，按组转换成密文同一字母在不同组中所对应密码不同HILL2密码的加密与解密★

假设要加密的明文是由26个字母所构成★将每个明文字母与0–25的一个数字建立1–1对应关系，称为明文字母的表值字母ABCDEFGHIJKLM表值12345678910111213字母NOPQRSTUVWXYZ表值1415161718192021222324250★将明文字母依次按每两个字母一组查出其表值，得到一组二维向量

★通过加密矩阵得到，而★查向量i

的字母表值，即得到密文★利用加密矩阵的逆矩阵，由密文得到明文★选择一个加密矩阵A—二阶正整数值的矩阵.例如关于模运算（mon26）模m

等价设

a,b为两个整数,若称

a模m等价于b，记作剩余集称为模m的剩余集运算律设a,b

为两个整数，模m

倒数

设，若存在使得，称a有模m

倒数记作命题整数a有模m

倒数的充要条件为a

与m

无公共素因子模26倒数表25175112371931521912523211917151197531a–1(mod26)a怎样求模m

倒数即解方程定义Euler函数：设m

为一自然数，Zm中与m

互素的数的个数称为m

的Euler函数，记为(m)Euler定理

对任意整数k,m,若k,m互素，则

故所求x为可借助软件Mathematica：

Eulerphi[m]矩阵模m可逆设为n

阶方阵，若存在使得，称B

为A

的模m逆矩阵，记作命题矩阵A模m

可逆|A|与m

无公共素因子模m逆矩阵例子一个简单实例明文：Ourmarshalwasshot分组：ou

rm

ar

shalwa

sshott补充哑字母对应向量加密：左乘加密矩阵直接结果密文向量密文ek

rmkbixyj

yc

ee

ls

hh解密只要将解密矩阵左乘密文向量即可求得明文向量，从而查出明文结论使用Hill密码时的加密矩阵应该模26

可逆使用MathematicaIn[1]:=a={{1,2},{0,3}};MatrixForm[a]Out[1]//MatrixForm=In[2]:=deta=Mod[Det[a],26]Out[2]=3In[3]:=inva=Inverse[a];MatrixForm[inva]Out[3]//MatrixForm=In[4]:=adja=deta

invaOut[4]//MatrixForm=In[5]:=ideta=9Out[5]=9In[6]:=inva1=Mod[ideta

adja,26];MatrixForm[inva1]Out[6]//MatrixForm=In[7]:=b={{5,18,11,9,25,25,5,12,8},{11,13,2,24,10,3,5,19,8}};c=Mod[inva1.b,26];MatrixForm[c]Out[7]//MatrixForm=HILL2密码的破译

关键是求得加密矩阵的逆—解密矩阵

只要分析出两个明文向量（线性无关）与相应的密文向量

若有甲方截获了一段密文：OJWPISWAZUXAU一个破译例子UISEABAUCRSIPLBHAAMMLPJJOTENH经分析这段密文是用HILL2密码编译的，且这段密文的字母UCRS依次代表了字母TACO，若明文字母的表值如前，试破译这密文的内容？关系其中其中计算A－