《机械控制工程基础》-5系统的稳定性

控制工程基础5.系统的稳定性5.1系统稳定的条件5.2稳定性的代数判据5.3稳定性的几何判据5.4系统的相对稳定性5.5根轨迹简介一、基本要求（1）了解系统稳定性的定义；系统稳定的条件。（2）掌握Routh-Hurwitz判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定的系统，能够指出系统包含不稳定特征根的个数。（3）掌握Nyquist判据。（4）理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度。二、本章重点（1）Routh判据，Nyquist判据的应用。（2）系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度的求法及其在Nyquist图和Bode图上的表示法。三、本章难点1.Routh判据及其应用；2.Nyquist判据及其应用。5.控制系统的稳定性分析控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个不能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则，也称为系统的稳定性判据。劳斯（Routh）-胡尔维茨（Hurwitz）判据:是依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判据。奈奎斯特判据:是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（-1，j0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，这是一种几何判据。波德判据:实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直观,从而获得广泛采用。控制工程基础5.1控制系统稳定性的基本概念

5.1.1

稳定性概念控制系统的稳定性是指系统在给定信号作用下，输出应能达到新的平衡状态，或在扰动去掉之后，系统的输出能以足够的精度恢复到原来的平衡状态。如图5-1(a)所示，这样的系统就是稳定的系统。若系统承受的外界扰动终止作用后，系统输出不能再恢复原先的平衡状态位置，或发生不衰减的持续振荡。如图5-1（b）所示，这样的系统就是不稳定系统。控制工程基础图5-1系统稳定性示意图控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。控制工程基础（5-1）5.1.2系统稳定的条件设系统方块图如图5-2，其闭环传递函数为控制工程基础（5-2）

闭环系统的特征方程为1+G(s)H(s)=0为闭环传递函数的特征方程式。一般情况下，系统的闭环传递函数为控制工程基础5.1.2系统稳定的条件对于求极点。对于根据情况不同，解不同，但实部都为5.1.2系统稳定的条件控制工程基础

为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实数极点及r对不相同的共轭复数极点，当输入单位脉冲函数X(s)=1时，输出的拉氏变换式为（5-3）上式的拉氏反变换为（5-4）5.1.2系统稳定的条件控制工程基础从上式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内，即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增大，方程（5-4）式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳定的。系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不稳定。设系统闭环传递函数为（5-5）则系统的特征方程为控制工程基础5.1.2系统稳定的条件例如某单位反馈系统的开环传递函数则系统的闭环传递函数

特征方程式为特征根

因为特征方程根具有负实部，该闭环系统稳定。5.1.2系统稳定的条件控制工程基础综上可见：特征根中只要有一个是正实根，则式(5-4)的解就发散，系统就不稳定；当特征根中的共轭复根具有正实部时，式(5-4)解呈发散振荡，故系统不稳定；若特征根中有零根，则式(5-4)全解中的瞬态分量将趋于某个常值，故系统也不稳定；若特征根中含有共轭虚根，则式(5-4)的解呈等幅振荡，这时系统出现所谓临界稳定状态。由于在实际工作中，系统的参数值往往要发生变化，因此共轭虚根有可能转变成具有正实部的共轭复根，而使系统不稳定。所以，从控制工程实践角度看，一般认为临界稳定属于系统的实际不不稳定工作状态。当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都是复的，共轭复根具有负实部时，式(5-4)的解是指数衰减的，或衰减振荡的，因而系统稳定。5.1.2系统稳定的条件控制工程基础由上述分析可以得出如下结论：线性定常系统稳定的必要和充分条件：是它的特征方程的所有根必须是负实数或具有负的实数部分。因为系统的特征根就是系统的极点，故线性定常系统稳定的必要和充分条件就是它的全部极点必须位于复平面的左半部分。控制工程基础5.1.2系统稳定的条件5.2劳斯-胡尔维茨稳定判据判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程根是否全部具有负的实部，或者说特征根是否全部位于[s]平面的虚轴左侧。这样就面临着两种选择；1.解特征方程确定特征根，这对于高阶系统来说是困难的。2.讨论根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有几个右根。代数稳定判据是基于特征方程根的分布与系数间的关系来判别系统的稳定性。无需解特征方程而能迅速判定根的分布情况。这是一种简单而实用的稳定性判据。控制工程基础5.2.1

胡尔维茨稳定判据设系统的特征方程式为（1）则系统稳定的必要条件是：

1.特征方程的各项系数均不为零。

2.特征方程的各项系数符号一致。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。控制工程基础5.2.1

胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据：对于式中。则系统稳定的充要条件是：（1）特征方程的各项系数均为正。（2）各项系数组成的胡尔维茨n阶行列式中各阶子行列式都大于零。满足该条件的系统稳定，否则不稳定。控制工程基础5.2.1

胡尔维茨稳定判据胡尔维茨行列式：对于控制工程基础5.2.2

劳斯稳定判据设系统的特征方程式为则系统稳定的必要条件是：

1.特征方程的各项系数均不为零。

2.特征方程的各项系数符号一致。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。控制工程基础（1）劳斯稳定判据的必要条件特征方程系数的劳斯阵列如下：（2）劳斯稳定判据的充要条件控制工程基础在上面的劳斯阵列中bi、ci、di、ei的计算公式如下：(5-6)

控制工程基础（2）劳斯稳定判据的充要条件劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。例如由第一行与第二行可组成第三行，在第二行第三行的基础上产生第四行，这样计算直到只有零为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。每行计算到出现零元素为止。把an，an-1，b1，c1，…，d1，e1

称为劳斯阵列中的第一列元素。劳斯稳定判据的充分且必要条件是：特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。（2）劳斯稳定判据的充要条件控制工程基础试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：闭环系统的特征方程式劳斯阵列为例5-1某一系统的闭环传递函数为由于特征方程式的系数以及第一列的所有元素都为正，因而系统是稳定的。控制工程基础例5-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为试确定K值的闭环稳定范围。解：其单位反馈系统的闭环传递函数为特征方程式为劳斯阵列为控制工程基础例5-3设单位反馈系统的开环传递函数为若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问K值应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情况又如何？

由稳定条件得因此K的稳定范围为

控制工程基础解：系统的特征方程式为s3+9s2+18s+18K=0令u=s+1得如下u特征方程

劳斯阵列为所以5/9<K<14/9闭环特征方程式的根的实部均小于-1控制工程基础由稳定条件知：不论K取何值，都不能使原特征方程的根的实部小于-2

若要求实部小于-2，令u=s+2得如下新的特征方程控制工程基础（3）劳斯判据的特殊情况例5-4设有特征方程为试判断系统的稳定性。1）某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为零则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而无法继续进行计算。为克服这一困难，计算时可用无穷小正数来代替零元素，然后继续进行计算。控制工程基础由于第一列有的元素为负值，且第一列的元素符号有两次变化，表明特征方程在［s］平面的右半平面内有两个根，该闭环系统是不稳定系统。解：劳斯阵列：此时第三行第一列元素为零，用一无限小代替0，然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上，观察第一列各项数值，当→0时，则控制工程基础2）某行全部元素值为零的情况说明系统的特征方程式的根中存在以下情况：1）存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由响应发散，系统不稳定）；2）存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）；3）存在一对共轭纯虚根；（系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定）；4）以上几种根的组合。（3）劳斯判据的特殊情况控制工程基础在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断，并且此行根的数目总是偶数，为了写出下面各行，可将该行的上一行的各项组成一个“辅助方程式”。式中s的方次均为偶次降。方程式对s求导，用求导得到的各项系数来代替为零的一行系数，然后继续按照劳斯阵列表的列写方法，计算余下各行直至计算完（n+1）行为止。这些大小相等、符号相反的特征根，可由辅助方程得到。（3）劳斯判据的特殊情况控制工程基础例5-5设某一系统的特征方程式为试判断系统的稳定性。解：特征方程各项系数为正，列出劳斯阵列表如下：（各元素除以2后的值）（各元素除以2后的值）控制工程基础取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为将A(s)对s求导得到以上式的系数代替全部为零的一行，然后继续作出劳斯阵列表为（各元素除以4后的值）控制工程基础从劳斯阵列表的第一列可以看出，各项并无符号变化，因此特征方程无正根。但因s3行出现全为零的情况，可见必有共轭虚根存在，这可通过求解辅助方程A(s)得到此式的两对共轭虚根为这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，等幅振荡。控制工程基础解：由已知条件知，系统一定存在一对共轭纯虚根s1,2=±j2。由方框图得，系统的特征方程为

s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出Routh表如下：练习题：系统的传递函数方框图如图所示。试确定K和a取何值时，系统将维持以角频率=2s-1的持续振荡。控制工程基础显然，只有Routh表中S行的元素全为0时，该特征方程才会有一对共轭纯虚根。令，而其辅助方程为控制工程基础解得一对共轭纯虚根联立方程和，解得控制工程基础5.3.1奈奎斯特（Nyquist）稳定判据奈奎斯特（Nyquist）稳定判据简称为奈氏判据，它是利用系统开环奈奎斯特图判断闭环系统稳定性的频率域图解方法。它是一种几何判据。5.3奈奎斯特稳定判据1）利用奈氏判据也不必求取闭环系统的特征根，而是通过系统开环频率特性Ｇ(j)H(j)曲线来分析闭环系统的稳定性。2）由于系统的频率特性可以用实验方法得，所以奈氏判据对那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义。3）奈氏判据还能表明系统的稳定裕度即相对稳定性，进而指出改善系统稳定性的途径。控制工程基础（1）稳定性判据如图5-2的闭环系统，其传递函数为，奈奎斯特稳定判据为：在开环传递函数G(s)H(s)中，令s=j，当在-∞至+∞范围内变化时，可画出闭合的极坐标图（奈奎斯特图），它以反时针方向绕（-1，j0）点的圈数为N，假定开环极点在s右半平面的个数为P，当满足于N=P的关系时，闭环系统是稳定的。控制工程基础如图所示系统的开环极坐标图，其开环传递函数为由极坐标图可见，当频率由-∞变化到+∞时，以反时针绕（-1，j0）点2圈，即N=2，由上面G(s)H(s)可以看出，开环传递函数有2个极点在s右半平面，即P=2。由于极坐标图的转向是反时针的，又由于N=P，所以对应的闭环系统是稳定的。控制工程基础如图的开环传递函数为由图可见，N=-2、P=1，即N≠P，所以对应的闭环系统是不稳定的。控制工程基础奈奎斯特稳定判据为：在开环传递函数G(s)H(s)中，令s=j，当在0至+∞范围内变化时，可画出半闭合的极坐标图（奈奎斯特图），它以反时针方向绕（-1，j0）点的圈数为N，假定开环极点在s右半平面的个数为P，当满足于N=P/2的关系时，闭环系统是稳定的。控制工程基础1）开环稳定闭环不一定是稳定的，反之开环不稳定闭环有可能是稳定的。对于最小相位的开环传递函数，并且开环增益大于零时，则只有三阶或三阶以上的闭环系统才可能不稳定。2）当开环传递函数含有N个积分环节时（即有位于原点的极点），当趋向0时奈氏曲线沿某一坐标轴趋向∞开环曲线不封闭，可以通过作辅助曲线（圆）后再进行判别，辅助曲线是一半径为∞的圆弧，从奈氏曲线的起始端开始反时针方向绕过N×90º和实轴相交后即可。注意：控制工程基础3）当曲线通过(-1，j0)点时，表示闭环系统有极点位于虚轴上，为临界稳定状态，归为不稳定的情况。4）虚轴上及原点上的开环极点为左极点。5）对于比较复杂的系统，不容易直接看出包围的圈数时，可采用“穿越”的概念：所谓“穿越”是指奈氏开环曲线穿过(-1，j0)点左侧的实轴。若由上向下穿越时为正穿越，反之由下向上穿越为负穿越。穿越一次，则穿越次数为1，若曲线始于或止于(-1，j0)点左侧的实轴上时，则穿越次数为1/2。穿越次数即为包围点的圈数，正穿越时为逆时针包围圈数为正，反之负穿越则包围圈数为负。控制工程基础在实际系统中，用得最多的是最小相位系统，因而P=0，为此，这种闭环系统如若稳定，必须N=0。又因为变化时，频率由-∞变化到0，再由0变化到+∞时，所对应的奈奎斯特图是对称的，所以只取0到+∞时这一频率段研究即可。其判据又可叙述如下：如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定稳定的充要条件是：它的开环极坐标图不包围（-1，j0）点，如图6-4a所示。反之，若曲线包围（-1，j0）点，则闭环系统将是不稳定的，如图6-4c所示。若曲线通过（-1，j0）点，则闭环系统处于临界状态，如图6-4b所示。控制工程基础（2）最小相位系统的稳定性判据（2）最小相位系统的稳定性判据控制工程基础例5-6已知两单位反馈系统的开环传递函数分别为：其开环极坐标曲线分别如图6-5(a)、(b)所示，试用奈氏判据分别判断对应的闭环系统的稳定性。5.3.2奈奎斯特稳定判据举例控制工程基础解:(1)系统1：由开环传递函数G1(s)的表达式知，p=0开环稳定。由图6-5(a)可见，开环奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点。因此闭环系统稳定。

(2)系统2：由开环传递函数G2(s)的表达式知，p=0开环稳定。由图6-5(b)可见，开环奈奎斯特图括入了(-1，j0)点。根据奈氏判据该系统闭环不稳定。例5-7已知系统开环传递函数为：开环奈奎斯特图如图6-6所示，试判断闭环系统的稳定性。解：由开环传递函数G(s)H(s)的表达式知，P=1开环不稳定。开环频率特性的极坐标曲线频率由0变化到+∞时逆时针包围(-1，j0)点N=1/2圈。如若频率由-∞变化到0，再0由0变化到+∞时，即为N=1,根据奈氏判据，该系统闭环稳定。此例说明，系统开环不稳定时，闭环系统仍有可能是稳定的。控制工程基础例6-8已知系统开环传递函数为：试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：根据开环传递函数可绘制出其频率特性的奈奎斯特图如图6-7所示。曲线包围了点(-1，j0)一圈N=-1（注意图中虚线）。由G(s)H(s)表达式知，P=0，开环稳定，根据奈氏判据，该系统闭环不稳定。控制工程基础特例1：应用Nyquist判据分析含积分环节系统的稳定性，课本P94-95特例2：应用Nyquist判据分析延时系统的稳定性

延时环节是线性环节，但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况。2.延时环节串联在闭环系统的前向通道中

时系统的稳定性

图5.3.16所示为一具有延时环节的系统方框图，其中G1(s)是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统的开环传递函数为：其开环频率特性，幅频特性和相频特性分别为：

由此可见，延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化。例如，在图5.3.16所示系统中，若则开环传递函数和开环频率特性分别为：其开环Nyquist图如图5.3.17所示。，

由图5.3.17可见，当，即无延时环节时，Nyquist轨迹的相位不超过－180度，只到第三象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着值增加，相位也增加，Nyquist轨迹向左上方偏转，进入第二和第一象限，当增加到使Nyquist轨迹包围点（－1,j0）时，闭环系统就不稳定。所以，由开环Nyquist图上可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的，虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数K就不允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性，还应尽可能地减小延时时间。开环Bode图与开环极坐标图有如下对应关系:(1)极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。(2)极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的-180o线，即对数相频特性图的横轴。5.3.2Bode图稳定判据

1.Nyquist图与Bode图的关系-1[GH]ww-180oGH20lg0-90o

在Bode图的L()>0dB的范围内，开环对数相频特性相对－180o线。时，闭环系统稳定，否则不稳定。

正穿越：相频特性由下而上穿过－180o

线，图中b点(相角增加)。负穿越∶相频特性由上而下穿过－1800

线，图中a点(相角减少)。正半次穿越:对数相频特性曲线始于－180o

向上。负半次穿越:对数相频特性曲线始于－180o

向下。2.Bode图稳定判据(-)正穿越次数负穿越次数=2p-1800-900GH-2700半次穿越负半次穿越正w5.4稳定裕度系统参数对系统稳定性是有影响的。适当选取系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而且可以使系统具有良好的动态响应。由奈奎斯特稳定判据可以推知：在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统是否稳定。而对于系统稳定的程度如何及是否具有满意的动态过程，劳斯判据无法确定。1）对于开环稳定(p=0)的闭环稳定系统，开环频率特性的奈奎斯特曲线距点(-1，j0)越远，则闭环系统的稳定性越高；2）曲线距点(-1，j0)越近，则其闭环系统的稳定性越低。控制工程基础图6-8是系统开环奈奎斯特曲线对(-1，j0)点的位置与对应的系统单位阶跃响应示意图。图中各系统均为开环稳定(p=0)。控制工程基础1）当开环频率特性的极坐标曲线包围(-1，j0)点时，对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定(图6-8(a))；2）当开环奈奎斯特曲线通过(-1，j0)点时，对应闭环系统单位阶跃响应呈等幅振荡(图6-8(b))；3）当开环奈奎斯特曲线不包围(-1，j0)点时，闭环系统稳定(图6-8(c)、(d))。4）由图6-8(c)、(d)可见，开环奈奎斯特曲线距(-1，j0)点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也不同。这便是通常所说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示系统的相对稳定性。控制工程基础1)相位裕度

以原点为圆心，以单位值为半径，可作成单位圆，它必然通过Q(-1，j0)点，并与奈奎斯特曲线交于A点，连线于0、A点得OA，OA与负实轴的夹角称为相位裕度，大小为：式中c

：称为剪切频率或幅值穿越频率，这一频率对应的幅值为1。(5-7)相位裕度的物理意义是，如果再滞后时，系统才处于临界状态。因此，相位裕度又可以称为相位稳定性储备。控制工程基础（1）稳态裕度极坐标的表示2)幅值裕度Ｋg

开环奈奎斯特曲线与负实轴相交于Q点，这一点的频率g时的幅值为|G(jg)H(jg)|，其倒数定义为幅值裕度Ｋg

，即：式中g

：相位穿越频率，对应这点的频率的相角为-180º。

幅值裕度Ｋg的物理意义是，如果将开环增益放大Ｋg倍，系统才处于临界稳定状态。因此，幅值裕度又称为增益裕度。控制工程基础系统的相对稳定性即稳定裕度用相位裕度和幅值裕度Ｋg

来定量描述，如图6-9所示。控制工程基础Ｋg(dB)=(6～20)dB=30°~60°由前面分析可见：对于闭环稳定系统，应有＞0，且Ｋg＞1；对于不稳定系统，有＜0，Ｋg＜1。系统的稳定程度由，Ｋg两项指标来衡量，Ｋg(dB)、越大系统的稳定性越好。但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如响应的快速性等。工程上一般取：控制工程基础（2）稳定裕度波德图表示

相位裕度和幅值裕度也可以在波德图中表示，如图6-10(a)、(b)所示。控制工程基础此时，幅值裕度Ｋg

的分贝值为：(5-9)对于闭环稳定系统，应有>0，且Kg>1即Kg(dB)>0。如图6-10(a)所示。在波德图上，必在-180°线以上；Kg(dB)在0dB线以下。对于不稳定系统，有

<0，Kg<1即Kg(dB)<0。如图6-10(b)所示。此时，在极坐标图的负实轴以上。在波德图上，在180°线以下；Kg在0dB线以上。控制工程基础（3）波德图判据利用开环频率特性G(j)H(j)的波德图，也可以来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或波德判据，它实质上是奈奎斯特判据的引申。开环波德图与开环极坐标图有如下对应关系：1)奈奎斯特图上的单位圆相当于波德图上的0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。因为此时

20lg|G(j)H(j)|=20lg1=0dB2)