性规划求解技巧-名师揭秘2023年高考数学(文)命题热点全覆盖

专题33线性规划求解技巧一．【学习目标】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．二．【知识要点】1．二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．2．线性规划相关概念名称意义约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值3.常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．解线性规划问题的一般步骤：审题、设元——列出约束条件(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．三．解题方法总结1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用y＝kx＋b表示的直线将平面分成上下两部分不等式区域y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域第二种：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直线将平面分成上下两部分(B＝0读者完成)不等式B＞0B＜0Ax＋By＋C＞0表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域Ax＋By＋C＜0表示直线下方的半平面区域表示直线上方的半平面区域联系：将Ax＋By＋C＝0表示的直线转化成y＝kx＋b的形式即是第一种.第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；②移：由z＝ax＋by变形为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，所求z的最值可以看成是求直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)在y轴上的截距的最值(其中a，b是常数，z随x，y的变化而变化)，将直线ax＋by＝0平移，在可行域中观察使eq\f(z,b)最大(或最小)时所经过的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；④答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.四．典例分析例1．设满足约束条件，则的最大值是A．0B．4C．5D．6【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，此时，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.练习1．已知实数x,y满足，若不等式axy0恒成立，则实数a的取值范围为()A．（－∞，）B．（4，＋∞）C．（，4）D．（，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，故选：B．练习2．若满足则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B（二）含绝对值的不等式例2.设满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由图形得，当时，，且当直线经过点时有最大值2，故可得的最大值为2．【答案】公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元．答：公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元。【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，再画出表示的区域。练习1．电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【解析】（1）由题意可得：；（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；画出可行域易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套练习2．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)A(mg/片)2510.1B(mg/片)1760.2【答案】当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．【解析】设两种药品分别为片和片，则有，两类药片的总数为，两类药片的价格和为。如图所示，作直线，将直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上一点，且与原点最近．解方程组，得交点坐标为.由于不是整点，因此不是的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是，经过的整点是，因此的最小值为.药片最小总数为片．同理可得，当时，取最小值，因此当类药品片、类药品片时，药品价格最低。练习3．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.【答案】10900【解析】由题意可得，解得.故答案为10900高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则eq\f(k1,k2)的取值范围为()A．(1,6)B．(1,5)C．(3,6)D．(3,5)答案D解析由于椭圆M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>6－a2，,6－a2>1，))解得3<a2<5.设椭圆M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1与圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－eq\f(x0,y0)，k2＝－eq\f(x0,a2y0)，eq\f(k1,k2)＝a2，所以eq\f(k1,k2)∈(3,5)，故选D.2．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝4－eq\f(4,an)，且f(n)＝(a1－2)(a2－2)＋(a2－2)(a3－2)＋(a3－2)(a4－2)＋…＋(an－1)(an＋1－2)，若∀n≥3(n∈N*)，f(n)≥m2－2m恒成立，则实数m的最小值为________．答案－1解析∵a1＝4，an＋1＝4－eq\f(4,an)，∴eq\f(2,an＋1－2)＝eq\f(2,\f(4an－4,an)－2)＝eq\f(an,an－2)＝1＋eq\f(2,an－2)，又eq\f(2,a1－2)＝1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,an－2)))是以1为首项，1为公差的等差数列，∴eq\f(2,an－2)＝1＋n－1＝n，an－2＝eq\f(2,n)，令bn＝(an－2)(an＋1－2)＝eq\f(2,n)·eq\f(2,n＋1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴f(n)＝(a1－2)(a2－2)＋(a2－2)(a3－2)＋(a3－2)·(a4－2)＋…＋(an－2)(an＋1－2)＝b1＋b2＋…＋bn＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(4n,n＋1).若∀n≥3(n∈N*)，f(n)≥m2－2m恒成立，则f(n)min≥m2－2m.易知f(n)＝eq\f(4n,n＋1)在[3，＋∞)上是增函数，∴f(n)min＝f(3)＝3，即m2－2m－3≤0，解得－1≤m≤3，∴实数m的最小值为－1.3．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F和上顶点B在直线3x－eq\r(3)y＋3＝0上，A为椭圆上位于x轴上方的一点且AF⊥x轴，M，N为椭圆C上不同于A的两点，且∠MAF＝∠NAF.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN与y轴交于点D(0，d)，求实数d的取值范围．解(1)依题意得椭圆C的左焦点为F(－1,0)，上顶点为B(0，eq\r(3))，故c＝1，b＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝2，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设直线AM的斜率为k，因为∠MAF＝∠NAF，所以AM，AN关于直线AF对称，所以直线AN的斜率为－k，易知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，所以直线AM的方程是y－eq\f(3,2)＝k(x＋1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，得(3＋4k2)x2＋(12＋8k)kx＋(4k2＋12k－3)＝0，所以x1＝eq\f(－4k2－12k＋3,3＋4k2)，将上式中的k换成－k，得x2＝eq\f(－4k2＋12k＋3,3＋4k2)，所以kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(k[x1＋x2＋2],x1－x2)＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k2＋6,3＋4k2)＋2)),\f(－24k,3＋4k2))＝－eq\f(1,2)，所以直线MN的方程是y＝－eq\f(1,2)x＋d，代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得x2－dx＋d2－3＝0，所以Δ＝(－d)2－4(d2－3)>0，解得－2<d<2，又因为MN在A点下方，所以－1×eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)>d⇒d<1，所以－2<d<1.4．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．当a≤0时，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)有1个极值点；当0<a<eq\f(1,2)时，由f′(x)>0得x<ln2a或x>0，