2022年云南省陇川县第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，，，点满足，则等于（）A．10 B．9 C．8 D．72．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值是（）A． B． C． D．4．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是()A． B．3 C． D．5．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上，则直线被截得的弦长为（）A． B． C． D．6．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为A． B．C． D．7．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A．1 B． C． D．8．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A． B．C． D．9．函数在的图像大致为A． B． C． D．10．函数（）的图像可以是（）A． B．C． D．11．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．12．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中的系数为_______________．14．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．15．抛物线的焦点坐标为______.16．四边形中，，，，，则的最小值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，以所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.18．（12分）已知数列的各项都为正数，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，其中表示不超过x的最大整数，如，，求数列的前2020项和．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ=4asinθ (a>0)，直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+（I）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（不要求具体过程）；（II）设P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．20．（12分）已知函数（1）若，求证：（2）若，恒有，求实数的取值范围.21．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级不合格合格得分频数624（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．22．（10分）已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．【详解】在中，，，，点满足，可得则==【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．2．D【解析】

由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解【详解】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，，故时取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，，所以满足条件．故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.3．B【解析】

由题意可得，且，故有①，再根据，求得②，由①②可得的最大值，检验的这个值满足条件．【详解】解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，，且，、，，即为奇数①．在，单调，，②．由①②可得的最大值为1．当时，由为图象的对称轴，可得，，故有，，满足为的零点，同时也满足满足在上单调，故为的最大值，故选：B．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．4．D【解析】

设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.【详解】由题意，设点.，即，整理得，则，解得或..故选：.【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.5．B【解析】

由焦点得抛物线方程，设点的坐标为，根据对称可求出点的坐标，写出直线方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.【详解】抛物线的焦点为，则，即，设点的坐标为，点的坐标为，如图：∴，解得，或(舍去)，∴∴直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，由，解得或，∴，∴，故直线被截得的弦长为．故选：B．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.6．A【解析】

画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出所表示的区域，易知，所以的面积为，满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，由几何概型的公式可得其概率为，故选A项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.7．D【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．8．D【解析】

由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝lnx相切时，k＝；结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．9．B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．10．B【解析】

根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：，所以当时，，又，令，则令，则所以函数在单调递减在单调递增，故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.11．C【解析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A：为非奇非偶函数，不符合题意；B：在上不单调，不符合题意；C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；D：为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.12．B【解析】

由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令，得令，得故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】解：，故它的展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．6【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.15．【解析】

变换得到，计算焦点得到答案.【详解】抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为．故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.16．【解析】

在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.【详解】，如图，在中，由正弦定理可得，即，故当时，取到最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.【解析】

（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.【详解】（1）由题可知，设点的坐标为，又，则直线的方程为，由此得直线与坐标轴交点为：，则，故，设，则.令，解得=10.当时，是减函数；当时，是增函数.所以当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时.故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.（2）在中，，,所以，所以，根据正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【点睛】本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）递推公式变形为，由数列是正项数列，得到，根据数列是等比数列求通项公式；（Ⅱ），根据新定义和对数的运算分类讨论数列的通项公式，并求前2020项和．【详解】（Ⅰ）∵，∴，∴又∵数列的各项都为正数，∴，即．∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴．（Ⅱ）∵，∴，．∴数列的前2020项的和为．【点睛】本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.19．（I）x2=4aya>0，x-y+1=0【解析】

（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.【详解】（I）曲线C：ρcos2可得ρ2cos2直线l的参数方程为x=-2+22t,x-y=-1，得x-y+1=0；（II）将x=-2+22t,y=-1+2t韦达定理：t1由题意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.20．（1）见解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.【详解】（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，∴f（x）的极大值为，∴当x＜0时，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点睛】本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根据频率分布直方图及其性质可求出，平均数，