吉林省吉化第一高级中学2022年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．是恒成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设复数，则=（）A．1 B． C． D．3．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（）A． B． C． D．4．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．6．在的展开式中，含的项的系数是（）A．74 B．121 C． D．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A． B． C． D．9．已知，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．设为自然对数的底数，函数，若，则()A． B． C． D．11．复数的模为（）．A． B．1 C．2 D．12．已知数列中，，()，则等于（）A． B． C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．平面向量与的夹角为，，，则__________．14．在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_______．15．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________.16．如图，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分别为BC，CD上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则____________，____________．（本题第1空2分，第2空3分）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线交于点Q，且,求点P的坐标.18．（12分）已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函数的定义域和值域.19．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：AQI空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率分别为.①若，求证：直线过定点；②若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由.21．（12分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数，满足？并说明理由.22．（10分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求锐二面角的大小．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

设成立；反之，满足，但，故选A.2．A【解析】

根据复数的除法运算，代入化简即可求解.【详解】复数，则故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.3．B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.4．D【解析】

由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．【详解】，，对应点为，在第四象限．故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．5．A【解析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【详解】因为,所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.6．D【解析】

根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，7．B【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．8．B【解析】

基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，所以，所求的概率.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．9．B【解析】

根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选：B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.10．D【解析】

利用与的关系，求得的值.【详解】依题意，所以故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.11．D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，复数的模为．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．12．A【解析】

分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.14．【解析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024,n=5,故的展开式的通项公式为Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.15．【解析】

根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值.【详解】点在单位圆上，设，由三角函数定义可知，因为，则，所以由同角三角函数关系式可得，所以故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.16．【解析】

根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（I）．（II）【解析】

（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.【详解】（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率，即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得：∴∴椭圆的方程为．（II）设由（I）易得顶点M、N的坐标为∴直线MP的方程是：由得：又点P在椭圆上，故∴∴∴或（舍）∴∴点P的坐标为【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.18．（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为【解析】

（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.【详解】解：（1）因为是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函数的定义域为.化简，得，因为，且，，所以，所以.所以函数的值域为.（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.19．（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析【解析】

（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.【详解】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P（ξ＝2），P（ξ＝3），则这3天中空气质量至少有2天为优的概率为；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），即30E（X）＝9060元，设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.【点睛】本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。20．（1）；（2）①证明见解析；②【解析】

（1）由题意焦距为2，设点，代入椭圆，解得，从而四边形的面积，由此能求出椭圆的标准方程．（2）①由题意，联立直线与椭圆的方程，得，推导出，，，，由此猜想：直线过定点，从而能证明，，三点共线，直线过定点．②由题意设，，，，直线，代入椭圆标准方程：，得，推导出，，由此推导出（定值）．【详解】（1）由题意焦距为2，可设点，代入椭圆，得，解得，四边形的面积，，，椭圆的标准方程为．（2）①由题意，联立直线与椭圆的方程，得，，解得，从而，，，同理可得，，猜想：直线过定点，下证之：，，，，三点共线，直线过定点．②为定值，理由如下：由题意设，，，，直线，代入椭圆标准方程：，