2022年上海民办邦德第二中学高三数学理测试题含解析

2022年上海民办邦德第二中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的值为33，则输出的的值为（A）4（B）5（C）6（D）7参考答案：C【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：开始执行，然后，再执行一行，然后输出解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，，解得的最小值为6.【错选原因】错选A：可能把误当成来算；错选B：当执行到时，，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到.错选D：可能先执行了后才输出.2.若正项数列满足，且a2001+a2002+a2003+…a2010=2013，则a2011+a2012+a2013+…a2020的值为 （

） A．2013·1010

B．2013·1011

C．2014·1010

D．2014·1011参考答案：A由条件知，即为公比是10的等比数列。因为，所以，选A.3.已知平面，直线，下列命题中不正确的是

（A）若，，则∥

（B）若∥，，则

（C）若∥，，则∥

（D）若，，则．参考答案：4.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的图象可由函数的图象（纵坐标不变）（

）得到

A、先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移单位

B、先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移单位

C、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移单位

D、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移单位参考答案：B5.执行如图所示的程序框图，则输出结果的值为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C【知识点】算法与程序框图L1由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，

∵跳出循环的n值为2015，∴输出S==cos+cos+…+cos，

∵cos+cos+cos+cos++=cos+cos+cos-cos-cos-cos=0∴S=cos+cosπ=-【思路点拨】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，根据条件确定最后一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值．6.已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（

） A. B.

C. `D.参考答案：D略7.已知复数满足(其中为虚数单位），则的虚部为

（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略8.设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数(

) A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b参考答案：A考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．解答： 解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥b这与a≤b矛盾，故a≤b成立不可能成立，故B不对；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥b，故排除C，D．故选A．点评：本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b与ea﹣2a=eb﹣3b，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题．9.函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：令函数,因,故函数是单调递增函数,且,所以不等式等价于,故,应选A.考点：导数的有关知识及综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先构造出函数,再运用求导法则求函数的导数,判断该函数的单调性为增函数,将不等式等价转化为.最后借助函数的单调性从而使得问题获解,本题具有一定的难度,难点在于如何构造函数的解析表达式,这里题设中的条件起到了的重要作用.10.直线l,m与平面，满足，l//，，，则必有

（

）

A.且

B.且C.且

D.且参考答案：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a，b均为正数，且，的最小值为________.参考答案：【分析】本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.12.若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是

▲

.参考答案：略13.等差数列中，，则该数列的前项的和

.参考答案：14.已知圆O：x2+y2=4。（1）圆O在点A（1，）处的切线的方程是___________；（2）与直线l：x-y+10=0平行且与圆O相切的直线方程为___________。参考答案：x+y=4；x-y±2=0。15.若＝m，且α是第三象限角，则sinα＝.参考答案：－.依题意得，α是第三象限角，sinα＜０，故sinα＝－．16.已知∈（，0），且，则=______________.参考答案：略17.等比数列{an}中，a2=2，a5=16，那么数列{an}的前6项和S6=

．参考答案：63三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表身高（cm）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）频数25141342表2：女生身高频数分布表身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）频数1712631（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则=，解得x．（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．可得样本中该校学生身高在[165，180）的概率=．即估计该校学生身高在[165，180）的概率．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．即可得出X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则=，解得x=300．因此高一女学生人数为300．（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．∴样本中该校学生身高在[165，180）的概率==．估计该校学生身高在[165，180）的概率=．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．∴P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）==．∴X的分布列为：X012P∴E（X）=0++=．【点评】本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点在椭圆C上.（1）设点P到直线的距离为d，证明：为定值；（2）若是椭圆C上的两个动点（都不与P重合），直线PA，PB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率（结果用n表示）参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）点在椭圆上，得，化简，即可证明；（2）当时，则，直线的斜率一定存在.设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，由韦达定理得同理得，，即可求得的值【详解】（1）由已知，得，所以，即因为点在椭圆上，所以，即又所以为定值.（2）当时，则，直线的斜率一定存在.设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，整理得由韦达定理，得，于是根据直线的斜率为，将上式中的用代替，得于是注意到得，于是因此，直线的斜率为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，设而求的思想，准确计算是得解，是中档题20.（本题满分14分）．

已知函数．（1）当时，函数取得极大值，求实数的值；（2）已知函数，在区间内存在唯一，使得.设函数（其中），证明：对任意，都有；（3）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都有.参考答案：(1)由题设，函数的定义域为，且 所以，得，此时.…2分当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值，故

…………4分（不检验只扣一分）（2）令，则.因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在使得

…7分又，当时，，从而单调递增，；当时，，从而单调递减，；故对任意，都有

.

…………9分（3）因为且，，同理，

…………12分由（Ⅱ）知对任意，都有，从而．

…………14分21.如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．参考答案：解：（1）因为、、构成等差数列，

所以，所以.

又因为，所以，

所以椭圆的方程为. （2）假设存在直线，使得，显然直线不能与轴垂直．

设方程为

将其代入，整理得

设，，所以． 故点的横坐标为．所以．因为，所以，解得，即和相似，若，则所以，

整理得．

因为此方程无解，所以不存在直