2022山东省聊城市东阿第一中学高三数学理期末试题

2022山东省聊城市东阿第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.四棱锥的底面是边长为2的正方形，点均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥的台最大时，底面的中心与顶点之间的距离为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：B2.椭圆E：的左右焦点分别为，P为椭圆上的任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆E的离心率e的取值范围是(

)A、

B、

C、

D、参考答案：B3.设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（

）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定参考答案：B4.复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点(－1,－1)，复数满足，则（

）A．

B．2

C．

D．10参考答案：A,选A.5.设，则它们的大小关系为

(A)a<b<c

(B)a<c<b

(C)b<c<a

(D)c<a<b参考答案：【知识点】三角函数

C2A解析：,,,所以，所以A为正确选项.【思路点拨】由三角函数的诱导公式及三角函数的单调性可求出结果.6.（05年全国卷Ⅲ）设，且，则（

）A

B

C

D

参考答案：答案：C7.已知关于的方程，若，记“该方程有实数根且满足”为事件A，则事件A发生的概率为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. B. C. D.参考答案：A由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，∴=,故选A.9.若分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则的值为

(

)．

3.

6.

9.

27.

参考答案：B10.若为圆的弦的中点，则直线的方程（

）A. B.

C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为等差数列，若_______________.

参考答案：27略12.已知向量=(1，)，=（1，），若与垂直，则的值为

．参考答案：213.复数=______参考答案：14.已知函数f(x)为偶函数，且，则=_________.参考答案：16略15.（几何证明选讲选做题）如图，在中，//，//，若，则的长为__________．参考答案：16.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有个艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距6海里的C处的乙船，乙船立即朝北偏东（θ+30°）的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为

．参考答案：

【考点】解三角形的实际应用．【分析】连结BC，先用余弦定理计算BC，再利用正弦定理计算sinC即可．【解答】解：连结BC，由已知得AC=6，AB=10，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2?AB?AC?cos120°=100+36﹣2?10?6?（﹣）=196，∴BC=14，由正弦定理得，即，解得sinC=，∴sinθ=．故答案为：．17.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：（-4,2）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数一1二5三3四1(Ⅰ)估计这名乘客中候车时间少于分钟的人数；(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；(Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自个组，求的分布列及数学期望.参考答案：(Ⅰ)候车时间少于分钟的人数为

人；

………3分(Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A” …………7分(Ⅲ)的可能值为1，2，3

…………10分所以的分布列为X123P …………11分 …………13分19.如图，已知椭圆F：的离心率，短轴右端点为，为线段的中点.(1)求椭圆F的方程；(2)过点任作一条直线与椭圆F相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：（1）

（2）存在

（4,0）(1)由已知，，又，即，解得，∴椭圆方程为.

(2)假设存在点满足题设条件.当⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有，即当与x轴不垂直时，设的方程为：y=k(x-1),代入椭圆方程化简得：(k2+2)xk2x+k=0设P（x1,y1）,Q(x2,y2)，则则=∵=2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0=若，则=0即=0，整理得4k(x)=0

综上在轴上存在定点，使得20.如图，在几何体BACDEF中，四边形CDEF是菱形，，平面ADF⊥平面CDEF，.（1）求证：；（2）若，，求三棱锥和三棱锥的体积.参考答案：（1）证明见解析；（2）1,1【分析】（1）连接，与交于点，连接易知，，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可证明；（2）由面面垂直的性质可知，平面，即为三棱锥的高，结合菱形、等边三角形的性质，可求出，从而可求三棱锥的体积；由平面，可知点到平面的距离也为，由菱形的性质可知，从而可求出三棱锥的体积.【详解】（1）证明:如图，连接，与交于点，则为的中点，连接，由四边形是菱形可得，因为，所以，因为，所以平面，因为平面，所以.（2）因为平面平面，平面平面，且，所以平面，即为三棱锥的高.由，四边形是菱形，且，可得与都是边长为2的等边三角形，所以，因为的面积，故.

因为，平面，平面，所以平面，故点到平面的距离也为，由四边形是菱形得因此.【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了面面垂直的性质.证明线线垂直时，可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥的体积时，注意选择合适的底面和高，会使得求解较为简单.21.在平面直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．

（1）把直线的参数方程化为极坐标方程，把曲线的极坐标方程化为普通方程；

（2）求直线与曲线交点的极坐标（≥0，0≤）．参考答案：（1）直线l的参数方程（为参数），消去参数化为，

把代入可得：，

由曲线C的极坐标方程为：，变为，化为.——————————————————5分（2）联立，解得或，

∴直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为，．—10分22.（14分）已知数列中，，，其前项和满足.令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求证：（）；（Ⅲ）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，参考答案：解析：（Ⅰ）由题意知即……1∴……2′检验知、时，结论也成立，故.…………3′（