2021-2022学年福建省龙岩市连城县庙前中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年福建省龙岩市连城县庙前中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．3.已知定义在实数集上的函数满足,且的导函数在上恒有的解集为(

)A．

B．

C.

D.参考答案：A4.函数则的值为

(

)A．

B．C．D．18

参考答案：C略5.已知集合,，则为A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知全集，集合，集合，则集合为（）A．[－1,1]

B．[0,1]

C．(0,1]

D．[－1,0)参考答案：C7.设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，） D．（，+∞）参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得?=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得?=﹣1，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=||＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．8.对函数，若存在区间

,使得,则称区间为函数的一个“稳定区间”，给出下列四个函数：(1),

(2),

(3),

(4),其中存在“稳定区间”的函数有

A．(1)(2)

B．(2)(3)

C．(3)(4)

D．(1)(4)参考答案：B略9.已知抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则此双曲线的离心率A．

B．C．

D．参考答案：C略10.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．2参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，复数z=（i为虚数单位）的虚部为：﹣3．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列说法中，正确的有（把所有正确的序号都填上）．①“?x∈R，使2x＞3”的否定是“?x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个．参考答案：①【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】写出原命题的否定，可判断①；利用诱导公式和倍角公式化简函数的解析式，进而求出周期可判断②；写出原命题的否命题，可判断③；确定函数f（x）=2x﹣x2的零点个数，可判断④．【解答】解：对于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期T==，所以②不正确；对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是：若函数f（x）在x=x0处没极值，f'（x0）≠0，则显然不正确．例如f（x）=x3，x=0不是函数的极值点，但x=0时，导数为0，所以③不正确；对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象可得有3个交点．所以④不正确；故正确的命题只有：①，故答案为：①【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特称命题的否定，函数的周期性，取最值的条件，函数零点等知识点，难度中档．12.已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为． 参考答案：【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】根据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值． 【解答】解：根据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E， 则A（0，0），C（，0），B（﹣a，），E（，），O（，m）， ∵∠BAC=120°，∴， 化简得，∴O（，）， ∴，，， ∵=x+y， ∴ 解得，， ∴3x+6y=3（） = ≥+6 =6+， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标． 13.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/h视为“超速”，同时汽车将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以得出将被处罚的汽车约有___________辆. 参考答案：40略14.运行右边的程序框图，输出的是数列{2n-1}的前7项。若要使输出的结果是数列{3n-1}的前7项，则须将处理框A内的关系式变更为

。参考答案：a＝a×3略15.有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

．参考答案：甲、乙两位同学各自参加其中一个小组共有16种，其中两位同学参加同一个兴趣小组有4种，所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为。16.在等比数列中，若，则

．参考答案：3略17.某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担C班和D班的班主任，则共有

种不同的安排方法．（用数字作答）．参考答案：32三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：（1）若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，则…≤1；（2）若b1+b2+…bn=1，则≤…≤b12+b22+…+bn2．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，分析该零点两侧导函数的符号，确定函数的单调性和极值，最终求得函数的最值；（Ⅱ）（1）要证…≤1，只需证ln≤0，根据（I）和∵ak，bk（k=1，2…，n）均为正数，从而有lnak≤ak﹣1，即可证明结论；（2）要证≤…，根据（1），令ak=（k=1，2…，n），再利用分数指数幂的运算法则即可证得结论；要证…≤b12+b22+…+bn2，记s=b12+b22+…+bn2．令ak=（k=1，2…，n），同理可证．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；

（II）（1）由（I）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，∵ak，bk（k=1，2…，n）均为正数，从而有lnak≤ak﹣1，得bklnak≤akbk﹣bk（k=1，2…，n），求和得≤a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn）∵a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，∴≤0，即ln≤0，∴…≤1；

（2）先证≤…，令ak=（k=1，2…，n），则a1b1+a2b2+…+anbn≥1=b1+b2+…bn，于是由（1）得≤1，即≤nb1+b2+…bn=n，∴≤…，②再证…≤b12+b22+…+bn2，记s=b12+b22+…+bn2．令ak=（k=1，2…，n），则a1b1+a2b2+…+anbn=（b12+b22+…+bn2）=1=b1+b2+…bn，于是由（1）得≤1，即…≤sb1+b2+…bn=s，∴…≤b12+b22+…+bn2，综合①②，（2）得证．【点评】此题是个难题．本题主要考查函数、导数、不等式证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想．19.

已知函数（a∈R）（1）若a=0,讲座函数的单调性（2）函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（3）当时，试比较与的大小。参考答案：（Ⅰ），···········1分···········4分（Ⅱ）由原式令，可得在上递减，在上递增∴·········7分即·································8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,1)上单调递减

∴时，即·································10分而时，··················11分

································12分略20.如图是三棱柱的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，为的中点. (1)求证：∥平面；(2)设垂直于，且，求三棱柱的表面积和体积.参考答案：(1)由三视图画出直观图，如图，这是一个正三棱柱，连接和，交点为,则为的中点，连接,因为为中点，所以,……6分(2)过作,垂足为,连接，因为侧面垂直于底面，所以，所以在内的射影为，由，故，表面积为；体积为。…………12分

略21.已知函数.（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）若，，且的值等于函数的最小值，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）由得或或

即或或

解得或

∴解集为

…………4分（Ⅱ）∵

∴的最小值为2∴∵，∴当且仅当即时等号成立∴的最小值为

……………10分22.已知点F（1，0），点P为平面上的动点，过点P作直线l：x=﹣1的垂线，垂足为H，且?=?．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同D的两点，且满足?=0，在A，B处分别作轨迹C的切线交于点N，求点N的轨迹E的方程；（3）在（2）的条件下，求证：kMN?kAB为定值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由，展开数量积公式可得，可知点P为线段HF中垂线上的点，由抛物线定义可得动点P的轨迹C为以F为焦点的抛物线，其方程为y2=4x；（2）设直线MA的斜率为k（k≠0），写出直线MA的方程，和抛物线联立求得，进一步求得切线NA的方程，同理求出切线NB的方程，联立即可求得交点N的轨迹方程；（3）由（2）求出N的坐标，由两点坐标求斜率公式求得kMN、kAB得答案．解答： （1）解：由可得：，即，可知点P为线段HF中垂线上的点，故动点P的轨迹C为以F为焦点的抛物线，其方程为y2=4x；（2）解：设直线MA的斜率为k（k