2021-2022学年湖南省郴州市联合高级中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省郴州市联合高级中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：B【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．则|ai|=|i|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知向量的夹角为，且，，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略3.函数（

）A．图象无对称轴,且在R上不单调B．图象无对称轴,且在R上单调递增C．图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调D．图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增参考答案：D4.已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A． B． C．﹣ D．或﹣参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2﹣a1、b2，则答案可求．【解答】解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，∴，∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的性质，是基础的计算题．5.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.6.若

（

）

A．

B． C． D．参考答案：答案：C7.已知“正整数对”按如下规律排成一列：则第60个数对是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[1,2]上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．参考答案：C∵是上的奇函数，且满足，∴，∴函数的图象关于对称，∵函数在区间是减函数，∴函数在上为增函数，且，由题知，，，∴．9.执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据输出的S值，确定跳出循环的n值，从而得判断框内的条件．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S==1﹣=．∴n=5，∴跳出循环的n值为5，∴判断框的条件为n＜5．即a=5．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．10.的展开式中的系数为

（

）

A．-56

B．56

C．-336

D．336参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知不等式组表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时的k的值为____________．参考答案：1略12.在极坐标系中,点的极坐标是,点是曲线上的一个动点,则的取值范围是

．参考答案：试题分析：将化为直角坐标是,将化为直角坐标方程为,则曲线是圆心为,半径为圆.圆心到点的距离为,圆上的动点到定点的距离的最大值为；最小值为,所以的取值范围是.考点：圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化．13.定义在实数上的函数f(x)＝的最小值是

.参考答案：－14.已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为

；参考答案：10略15.已知不等式（m﹣n）2+（m﹣lnn+λ）2≥2对任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，则实数λ的取值范围为

．参考答案：λ≥2﹣1或λ≤﹣2﹣1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题看作点（m，m+λ），（n，lnn）两点的距离的平方，即为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值，当y=lnx的切线斜率为1时，求出y=lnx在（1，0）处的切线与y=x+λ的最小值，解出即可．【解答】解：不等式（m﹣n）2+（m﹣lnn+λ）2≥2对任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，看作点（m，m+λ），（n，lnn）两点的距离的平方，即为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值，当y=lnx的切线斜率为1时，y′==1，点（1，0）处的切线与y=x+λ平行，距离的最小值是d=≥2，解得：λ≥2﹣1或λ≤﹣2﹣1，故答案为：λ≥2﹣1或λ≤﹣2﹣1．【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查平行线的距离，问题转化为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．16.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的方程是，的参数方程是（为参数），则与交点的直角坐标是

．参考答案：【知识点】参数方程化成普通方程．N3

解析：C2的参数方程是（t为参数），转化成直角坐标方程为：x2=3y2，则：，解得：由于C2的参数方程是（t为参数），满足所以交点为：，即交点坐标为：（，﹣1），故答案为：（，﹣1）【思路点拨】首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步建立方程组求出交点的坐标，最后通过取值范围求出结果．17.若等差数列的前项和为，，，则数列的通项公式为

.参考答案：（）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成角为，且，求点到平面的距离．参考答案：解：【法一】（I）证明：如图，取的中点，连接．由已知得且，又是的中点，则且，是平行四边形，····································································································∴

又平面，平面

平面······································································································（II）设平面的距离为，【法一】：因平面，故为与平面所成角，所以，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，因，则，…………则，因所以………………

【法二】因平面，故为与平面所成角，所以，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，连结，因，则为的中点，故所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离.又，所以……………

19.如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形,是的中点,且,.(I)证明:；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：(Ⅰ)如图1所示，连接交于点，连接.

∵四边形是正方形，∴是的中点又已知是的中点，∴又∵且，∴

即四边形是平行四边形，∴，∵，∴

(Ⅱ)如图2所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，令，则，，∴，，，设平面的法向量为，则由，，可得：，可令，则，∴平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则.

20.（14分）如图，四棱锥中，⊥底面，

⊥．底面为梯形，，.，点在棱上，且．（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的大小．参考答案：解析：证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴．又AB⊥BC，，∴⊥平面．

2分又平面，∴平面⊥平面．

4分

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．

5分在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，∴．又AC⊥AD，故为等腰直角三角形．∴．连接，交于点，则

7分在中，，∴又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．

9分

（Ⅲ）在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴．在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故．∴就是二面角A—CE—P的平面角．

12分在中，设，则，，，，由，可知：∽，∴代入解得：．在中，，∴．

13分即二面角A—CE—P的大小为．

14分解法二：（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．设，则，，，，.5分设，则，，∴，解得：．．连结，交于点，则.7分在中，，∴．又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．

9分（Ⅲ）设为平面的一个法向量，则，∴解得：，∴．

11分设为平面的一个法向量，则，又，，∴解得：，∴．

12分．

13分∴二面角A—CE—P的大小为．

14分21.（12分）设函数(1)若x=2是函数f(x)的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求。(2)若对任意,都存在(e为自然对数的底数)，使得成立，求实数的取值范围。参考答案：（Ⅰ），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，由解得.

∴,，令，，得；

令得，所以在上单调递减；在上单调递增.故函数至多有两个零点，其中，因为，，所以，故．（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解，令，只需存在使得即可，由于=，令，，∴在(1，e)上单调递增，，①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.②当，即时，，若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减,22.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．参考答案：【考点】指数函数综合题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．【解答】解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x3≥0，满足①；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3?x2+3x1?≥+=g（x1）+g（x2），满足②，所以函数g（x）是不等函数．（2）h（x