高中数学人教B版第三章不等式 市一等奖

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bd.其中真命题的个数是() 【解析】若a>b，c<0时，ac<bc，①错；②中，若c＝0，则有ac2＝bc2，②错；③正确；④中，只有c>d>0时，ac>bd，④错，故选A.【答案】A2.直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域.下列各点与原点位于同一区域的是()A.(－3,4) B.(－3，－4)C.(0，－3) D.(－3,2)【解析】当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.【答案】A3.设A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是()≥B >B<B ≤B【解析】∵a，b都是正实数，且a≠b，∴A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴A>B.【答案】B4.已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是()＞b3 \f(1,a)＜eq\f(1,b)＞1 (b－a)＜0【解析】由0＜a＜b＜1，可得a3＜b3，A错误；eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，B错误；ab＜1，C错误；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D正确.【答案】D5.在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数xA.(0,2)B.(－2,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1,2)【解析】根据定义得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以所求的实数x的取值范围为(－2,1).【答案】B6.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A.[0,2] B.[－2,0]C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]【解析】因为2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，2x＋2y＝1，所以2eq\r(2x＋y)≤1，所以2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，所以x＋y≤－2，即x＋y的取值范围是(－∞，－2].【答案】D7.已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,x－1)≤0))))，N＝{x|x2＋2x－3≤0}，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2＋2x－3≥1))))，则有()＝N＝P ＝PNMP N＝P【解析】由M知－3≤x＜1；由N知－3≤x≤1；由P知－3≤x≤1，所以MN＝P.【答案】D，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()\f(1,2)或－1 或eq\f(1,2)或1 或－1【解析】如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.【答案】D9.已知正实数a，b满足4a＋b＝30，当eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值时，实数对(a，b)是()【导学号：18082138】A.(5,10) B.(6,6)C.(10,5) D.(7,2)【解析】eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·eq\f(1,30)·30＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(3,10).当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,4a＋b＝30，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝10))时取等号.【答案】A10.已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足下列条件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y≤－3，,3x＋5y＜25，,x≥1，))则()＝12，zmin＝3＝12，无最小值＝3，无最大值无最大值，也无最小值【解析】作如图可行域，作直线2x＋y＝0，将直线向右上方平移过程中，过点A时，z最小，过点B时，z最大，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＝－3))得A(1,1)，B点不存在，∴zmin＝2×1＋1＝3，z无最大值.【答案】C11.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x<x<3 <1或x>3<x<2 <1或x>2【解析】设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝x2－3x＋2>0，,g－1＝x2－5x＋6>0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>2，,x<2或x>3))⇔x<1或x>3.【答案】B12.设D是不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤10，,2x＋y≥3，,0≤x≤4，,y≥1))表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是()\r(2)B.2eq\r(2)\r(2)\r(2)【解析】画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4eq\r(2).【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.已知0＜x＜6，则y＝(6－x)·x的最大值是________.【解析】法一：∵0＜x＜6，∴6－x＞0，∴(6－x)·x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x＋x,2)))2＝9，当且仅当6－x＝x，即x＝3时取等号.法二：y＝(6－x)x＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.∵0＜x＜6，∴ymax＝f(3)＝9.【答案】914.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k<3，则k的取值范围为________.【导学号：18082139】【解析】由题意得eq\r(k)＋1＋k<3，即(eq\r(k)＋2)·(eq\r(k)－1)<0，且k>0，因此k的取值范围是(0,1).【答案】(0,1)15.已知实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))目标函数z＝y－ax(a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________.【解析】不等式组的可行域如图阴影部分所示.由z＝y－ax得y＝ax＋z，当直线y＝ax＋z的斜率大于1时，目标函数在点(1,3)处取得最大值.【答案】(1，＋∞)16.实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，,x＋y－4≥0，))则z＝|x＋2y－4|的最大值为________.【解析】法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.z＝|x＋2y－4|＝eq\f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq\r(5)，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的eq\r(5)倍.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x－y－5＝0))得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4＞0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题.显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.【答案】21三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)，解不等式f(x)－f(x－1)>2x－1.【解】由题意可得x2＋eq\f(2,x)－(x－1)2－eq\f(2,x－1)>2x－1，化简得eq\f(2,xx－1)<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1.所以原不等式的解集为{x|0<x<1}.18.(本小题满分12分)设x∈R，比较eq\f(1,1＋x)与1－x的大小.【导学号：18082140】【解】作差：eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(x2,1＋x)，①当x＝0时，∵eq\f(x2,1＋x)＝0，∴eq\f(1,1＋x)＝1－x；②当1＋x<0，即x<－1时，∵eq\f(x2,1＋x)<0，∴eq\f(1,1＋x)<1－x；③当1＋x>0且x≠0，即－1<x<0或x>0时，∵eq\f(x2,1＋x)>0，∴eq\f(1,1＋x)>1－x.19.(本小题满分12分)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值.【解】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.由z＝ax＋by得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－eq\f(a,b)，在y轴上的截距为eq\f(z,b)，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2a＋3b,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(2,b)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋6＋\f(4a,b)＋\f(9b,a)))≥4，当且仅当a＝eq\f(3,2)，b＝1时等号成立，所以eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)的最小值为4.20.(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？【解】设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,240x＋80y≤400，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,3x＋y≤5，,x≥0，y≥0，))画出可行域如图阴影部分所示而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y＝960x＋420y(目标函数)，可联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,3x＋y＝5，))得交点B,.故当x＝，y＝时，P最大值＝960×＋420×＝1650，即水稻种亩，花生种亩时所得到的利润最大.21.(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}.(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.【解】(1)由题意知，1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－a)＝－2，,\f(6