2021-2022学年湖南省衡阳市常宁大堡中学高二数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市常宁大堡中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(

)A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法参考答案：C按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C考点：本题考查几种抽样方法概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.2.已知定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的③函数的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（

） A． B． C． D．参考答案：A略3.已知，则乘积可表示为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.若函数，则与的大小关系是（

）A. B.C. D.不确定参考答案：B【分析】先对函数求导，求出，进而可判断出函数单调性，得出结果.【详解】因为，所以，故，解得，所以，因此，函数单调递增；故.故选B【点睛】本题主要考查导数的计算以及导数的应用，熟记导数计算公式、以及导数方法判断函数单调性即可，属于常考题型.5.若直线的参数方程为，则直线的斜率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．【解答】解：点P（1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（1，1，﹣1），一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：=．故选D．【点评】本题考查点关于平面对称点的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．7.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A8.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.参考答案：A抛物线，开口向右且焦点在轴上，坐标为.故选A.9.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成的角的度数为()A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

参考答案：C略10.在中，已知,,，则=

（

）

A．2

B．1

C．－1

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆截直线所得的弦长为

.参考答案：12.已知，且,则实数的取值范围

；参考答案：略13.若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为．参考答案：（﹣1，3]∪{1﹣2}【考点】直线与圆的位置关系．【分析】曲线即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+，b=1﹣．当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=﹣1，结合图象可得b的范围．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（﹣1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，b=1﹣．当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=﹣1结合图象可得﹣1＜b≤3或b=1﹣．故答案为：（﹣1，3]∪{1﹣}14.无论取何实数时，直线恒过定点，求定点的坐标为

.参考答案：15.已知某圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为

．参考答案：由题意知：圆锥的母线长；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面圆的半径为，则，；圆锥的高；所以圆锥的体积.

16.为虚数单位,设复数,在复平面内对应的点关于原点对称,若,则____

。参考答案：略17.若点三点共线，则的值为_____________.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）数列{an}满足Sn＝2n+2an(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，（2）有同学猜想an＝；请根据你的计算确定的值，并用数学归纳法证明。参考答案：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2+2a1，∴a1＝－2

……1分当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2+2a2，∴a2＝－6

……2分当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3+2a3，∴a3＝－14

……3分当n＝4时，a1＋a2＋a3+＝S4＝2×4+2a4，∴a4＝－30

……4分（2）＝n+1,由此猜想an＝(n∈N*)

………………7分证明：①当n＝1时，a1＝－2，结论成立，

……8分②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，猜想成立，即ak＝成立，

当n＝k＋1时，

……9分ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)+2ak＋1－2k－2ak＝2－2ak+2ak＋1，∴ak＋1＝－2＋2ak＝－2+2（）＝2－即，当n＝k＋1时，猜想成立，

……12分根据，①和②对于一切的自然数n∈N*，猜想成立．

……14分19.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：略20.设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差.（Ⅰ）若,且该数列前项和最大，求的值；（Ⅱ）若,且将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求的值；（Ⅲ）若该数列中有一项是，则数列中是否存在不同三项（按原来的顺序）为等比数列？请说明理由.

参考答案：（Ⅰ）解法一：由已知得∴

…………3分∵

∴取最大时的值为30或31.

………………4分解法二：由已知得

∴.若取最大，则只需即解得.∵

∴当取最大时的值分别是30或31.（Ⅱ）当时，该数列的前4项可设为10、、、.若删去第一项10，则由题意得，解得，不符合题意.…5分若删去第二项，则由题意得解得，符合题意.…6分若删去第三项，则由题意得解得，符合题意.

…7分若删去第四项，则由题意得解得，不符合题意.…8分综上所述，的值为或10.

……………9分略21.已知上是增函数，在[0，2]上是减函数.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求证:参考答案：(Ⅰ）

上是增函数，在[0，2]上是减函数，

∴当取到极大值，………6分（Ⅱ）∵函数上是减函数，恒成立...………10分..………12分略22.已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？