2021-2022学年湖南省益阳市廖家中学高三数学文月考试卷含解析

2021-2022学年湖南省益阳市廖家中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，，AB=2,AC＝1，E,F为BC的三等分点，则＝A、B、C、D、参考答案：B由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B2.在中，，若点为的内心，则的值为(

)

A．2

B．

C．3

D．参考答案：D3.已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(

)A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.已知曲线C：与直线L：，则C与L的公共点A.有2个

B.

最多1个

C.

至少1个

D.

不存在参考答案：C6.已知实数满足不等式组，则函数的最大值为A．2 B．4 C．5 D．6参考答案：D作出可行域如下图，当直线过点C时，最大，由得，所以的最大值为6．7.在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若向量和平行，且，当△ABC的面积为时，则b=(

)A． B．2 C．4 D．2+参考答案：B考点：向量在几何中的应用．分析：利用向量共线的充要条件得a，b，c的关系，利用三角形的面积公式得到a，b，c的第二个关系，利用三角形的余弦定理得到第三个关系，解方程组求出b．解答：解：由向量和共线知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B为锐角，③，联立①②③得b=2．故选项为B点评：本题考查向量共线的充要条件，三角形的面积公式及三角形中的余弦定理8.已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=（） A． B． C．2 D．4参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据向量的坐标运算先求出，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求||． 【解答】解∵，， ∴2=（3，x），由?3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=， ∴或，∴||=，或||=． 故选C． 【点评】本题考查了运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，若，，则?x1x2+y1y2=0． 9.已知函数为R上的奇函数，且在[0,+∞)上为增函数，从区间(-5，5)上任取一个数x，则使不等式成立的概率为(

)．A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用奇函数的性质，可以解出不等式的解集，然后利用几何概型公式，进行求解.【详解】因为函数为上的奇函数，所以，在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数为上的增函数，所以，从区间(-5，5)上任取一个数，则使不等式成立的概率为，故本题选A.【点睛】本题考查了几何概型、奇函数的性质.值得注意的是:当奇函数在时，没有定义，如果在单调递增，那么在整个定义域内，就不一定是增函数.10.以＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(

)A．＝1

B．＝1

C．＝1

D．

＝1参考答案：答案：

A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知α是第一象限角，且sin（π﹣α）=，则tanα=．参考答案：【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，求得tanα的值．【解答】解：∵α是第一象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα==，则tanα==，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题．12.已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为

．参考答案：8考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答： 解：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．13.已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=2PC=2，是边长为的正三角形，则三棱锥P-ABC的外接球半径为_________.参考答案：由题意可得PC⊥平面ABC，以PC为一条侧棱，△ABC为底面把三棱锥P-ABC补成一个直三棱柱，则该直三棱柱的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，且该直三棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点就是球心，因为底面外接圆的半r=1，所以三棱锥P-ABC的外接球半径.14.若f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2，则x＜0时，f（x）=

，若对任意的x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是

．参考答案：﹣x2；[，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】由当x＞0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2∴当x＜0，有﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2，∴﹣f（x）=x2，即f（x）=﹣x2，∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），f（x+t）≥2f（x）=f（x），又∵函数在定义域R上是增函数故问题等价于当x属于[t，t+2]时x+t≥x恒成立?（﹣1）x﹣t≤0恒成立，令g（x）=（﹣1）x﹣t，g（x）max=g（t+2）≤0解得t≥．∴t的取值范围t≥，故答案为：﹣x2；[，+∞）．15.（5分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为．参考答案：（3，2）【考点】：直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意确定出抛物线C解析式，以及直线l解析式，联立两解析式消去y得到关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求出x1+x2=6，进而确定出弦AB中点横坐标，即可确定出弦AB中点坐标．解：根据题意得：抛物线C解析式为y2=4x，∵过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为45°，∴直线l解析式为y=x﹣1，联立得：，消去y得：（x﹣1）2=4x，即x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，即弦AB中点横坐标为3，把x=3代入y=x﹣1得：y=2，则弦AB中点坐标为（3，2），故答案为：（3，2）．【点评】：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，韦达定理，线段中点坐标公式，确定出抛物线与直线解析式是解本题的关键．16.公差不为零的等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝9，且a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的公差为

参考答案：【知识点】等差数列的性质．D22

解析：由等差数列的性质知3a2＝9，所以a2＝3，又a＝(a2－d)(a2＋3d)，解得d＝2.故选B.【思路点拨】设出数列的公差，利用a1＋a2＋a3＝9，求得a1和d关系同时利用a1、a2、a3成等比数列求得a1和d的另一关系式，联立求得d．17.若x，y满足约束条件则的最小值为

．参考答案：画出x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=的几何意义为动点P（x，y）到定点Q（﹣2，﹣1）的斜率，当P位于A（﹣1，1）时，此时QA的斜率最大，此时zmax==2，当P位于B（1，1）时，此时直线的斜率最小，目标函数z=的最小值是．故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列前项和.数列满足，数列满足。（1）求数列和数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（1）由已知和得，当时，

又，符合上式。故数列的通项公式。又∵，∴，故数列的通项公式为，

（2），

，，①-②得，∴。

（3）∵,∴,

当时，；当时，，∴。

若对一切正整数恒成立，则即可，

解得或19.(本小题满分12分)已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．

参考答案：略20.（本题满分12分）复数，（其中，为虚数单位）.在复平面上，复数、能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．参考答案：设复数，能表示同一个点，则

……3分解得或，

………………7分当时，得，此时；

……………9分当时，得，此时；

……………11分综上，复平面上该点表示的复数为或．

……………12分21.已知函数（1）若在是增函数，求的取值范围；（2）已知，对于函数图象上任意不同两点,，其中，直线的斜率为，记，若求证：.参考答案：解：（1）由得，又当时，，所以（II），，，要证，只要证，即设，则，显然令，考虑在上的单调性令

恒成立

则有

成立略22.（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2，+=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0