2021-2022学年湖南省岳阳市长庆中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年湖南省岳阳市长庆中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为，图象如图3所示；函数的定义域为，图象如图4所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则A.14

B.12

C.10

D.8参考答案：A由方程可知，此时有7个实根，即；由方程可知，所以，故选A.2.已知集合，则=A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为Ａ．６

Ｂ．２

Ｃ．

Ｄ．

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

参考答案：D4.设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的，成等差数列，设数列的前项和为，且，则对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，小于的最小正整数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

A．8

B．

C．10

D．参考答案：C本题考查了三视图的相关知识，难度中等.由三视图可知，该四面体可以描述为：面,,且,从而可以计算并比较得面的面积最大，为10，故应选C.6.若函数在内有极小值，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.函数f(x)＝＋x的值域是()A．[，＋∞)

B．(－∞，]C．(0，＋∞)

D．[1，＋∞)参考答案：A略8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是线段C1D1上的动点，点P为正方体对角线AC1上的动点，若三棱锥的体积为正方体体积的，则直线A1P与底面A1B1C1D1所成角的正切值为（）A. B. C.2 D.参考答案：A【分析】根据线面角的定义作出直线与底面所成的角，根据三棱锥的体积和正方体的体积关系列方程，求得到底面的距离，进而求得线面角的正切值.【详解】设正方体的边长为1，连，在上取一点，使得.由底面，得底面，直线与底面所成的角为，记为，则.又由，则，得，可得，则.故选A.【点睛】本小题主要考查线面角的正切值的求法，考查线面角的概念，考查空间想象能力，属于中档题.9.对任意实数a、b定义运算?：a?b=，设f（x）=（x2﹣1）?（4+x），若函数y=f（x）+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，3] B．[﹣3，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，1）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用新定义化简f（x）解析式，做出f（x）的函数图象，根据图象即可得出k的范围．【解答】解：解x2﹣1﹣（4+x）≥1得x≤﹣2或x≥3，∴f（x）=，做出f（x）的函数图象，如图所示：∵y=f（x）+k有三个零点，∴﹣1＜﹣k≤2，即﹣2≤k＜1．故选：D．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，不等式的解法，属于中档题．10.已知定义在上的函数y=f（x）的值域为，则函数y=f（cos2x）的值域为(

) A． B． C． D．不能确定参考答案：C考点：函数的值域．专题：计算题．分析：先求出cos2x的范围，然后根据映射f括号里的范围相同可知值域也相等，从而得到结论．解答： 解：∵cos2x∈，上的函数y=f（x）的值域为，∴函数y=f（cos2x）的值域为故选C．点评：本题主要考查了抽象函数的值域，解题的关键是求括号中cos2x的范围，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是内（不含边界）的一个动点，若，则线段A1P的长的取值范围为_____.参考答案：【分析】由正方体的性质可知过且垂直于的平面为平面，与平面的交线为，故考虑到线段的距离的取值范围即可.【详解】考虑过且垂直于的平面与平面的交线，如图，由正方体可以得到，，因，所以平面，而平面平面，故考虑到线段的距离的取值范围.在图（2）的矩形中，，，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，所以，，到直线的距离为，因是内，故的取值范围为.【点睛】空间中动态条件下的最值问题，可转化为确定的点、线、面的位置关系来讨论，必要时应将空间问题平面化，利用解三角形或平面向量等工具求最值.12.(选修22P26习题5)曲线y＝x－cosx在x＝处的切线方程为________．参考答案：13.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC＝

。参考答案：知识点：向量的数量积；余弦定理的运用.解析：解：设的夹角为θ，，∵AB＝2，，∴，又由余弦定理可得：,∴∴，故答案为：思路点拨：利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC的值．14.抛物线的焦点到准线的距离是

.参考答案：解析：焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是215.若向量，满足||=1，||=2且与的夹角为，则|+|=________。参考答案：，所以，所以。16.观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为

▲

．参考答案：13+23+33+43+53+63=212

略17.已知=（2，1），=（3，4），则在方向上的投影为

．参考答案：2考点：向量的投影．专题：计算题．分析：根据向量的数量积的几何意义可知，向量在向量上的投影为

，代入数据计算即可．解答： 解：∵=（2，1），=（3，4），∴?=2×3+1×4=10，||==5∴向量在向量方向上的投影为||cos＜＞===2．故答案为2点评：本题考查向量的投影，关键是牢记定义与公式，分清是哪一个向量在哪一个向量上的投影．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且点P(an，Sn)（其中且）在直线4x-3y-1=0上；数列是首项为-1，公差为-2的等差数列.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案：（1），；（2）.∴是以4为公比的等差数列，又，∴；∵是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∴.19.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C的普通方程为x2﹣4x+y2﹣2y=0，点P的极坐标为（2，）．（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；（2）若将直线l向右平移2个单位得到直线l′，设l′与C相交于A，B两点，求△PAB的面积．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据直线l的参数方程，消参可得直线l的普通方程，根据曲线C的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化简，可得曲线C的极坐标方程；（2）由题意得l′的普通方程为y=x，所以其极坐标方程为θ=，联立C的极坐标方程，可得弦长，求出弦心距，可得三角形面积．【解答】解：（1）根据题意，直线l的参数方程为，（t为参数）的普通方程为x﹣y+2=0，…曲线C的普通方程为x2﹣4x+y2﹣2y=0，极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ（ρ∈R）…（2）将直线l向右平移2个单位得到直线l′，则l′的普通方程为y=x，所以其极坐标方程为θ=，代入ρ=4cosθ+2sinθ得：ρ=3，故|AB|=3，因为OP⊥l′，所以点P到直线l′的距离为2，所以△PAB的面积S=×3×2=6…20.如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B，（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求的面积S的最大值；（3）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

参考答案：解：设（1）由条件知直线由消去y，得………1分由题意，判别式由韦达定理，由抛物线的定义，从而所求抛物的方程为………3分（2）设。由（1）易求得则，点C到直线的距离将原点O（0，0）的坐标代入直线的左边，得而点C与原点O们于直线的同侧，由线性规划的知识知因此……6分由（1），|AB|=4p。由知当…8分

（3）由（2），易得设。将代入直线PA的方程得同理直线PB的方程为将代入直线PA，PB的方程得略21.已知＝，（１）求