高中数学人教A版第一章集合与函数概念函数的基本性质 精品获奖

第一章1.3.2A级基础巩固一、选择题1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有eq\x(导学号69174402)(C)A．f(x)－f(－x)＞0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)＞0[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2.又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0，故选C．2．下列函数是偶函数的是eq\x(导学号69174403)(A)A．y＝2x2－3 B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x[解析]对A项：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B、D项都为奇函数，C项中定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故选A．3．下列说法正确的是eq\x(导学号69174404)(B)A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析]A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B．4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是eq\x(导学号69174405)(D)A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数[解析]令F1(x)＝f(x)·f(－x)，F2(x)＝f(x)|f(－x)|，F3(x)＝f(x)－f(－x)，F4(x)＝f(x)＋f(－x)，则F1(－x)＝f(－x)·f(x)＝F1(x)，即F1(x)为偶函数；F2(－x)＝f(－x)·|f(x)|≠±F2(x)，即F2(x)为非奇非偶函数；F3(－x)＝f(－x)－f(x)＝－(f(x)－f(－x))＝－F3(x)，即F3(x)为奇函数；F4(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F4(x)，即F4(x)为偶函数．结合选项知D正确．5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝eq\x(导学号69174406)(C)A．－2 B．－1 C．1 D．[解析]∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.6．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cxeq\x(导学号69174407)(A)A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数[解析]∵f(－x)＝f(x)，∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．∴b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx(c≠0)．∴g(－x)＝－g(x)．二、填空题7．(2023·广东深圳期末)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＜0，,gx，x＞0，))若f(x)是奇函数，则g(2)的值是\x(导学号69174408)[解析]∵f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.8．(2023·全国卷Ⅱ文，14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝\x(导学号69174409)[解析]∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－12，∴f(2)＝12.三、解答题9．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.eq\x(导学号69174410)[解析]设x<0，则－x>0.∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.∴f(－x)＝x2－x－1.∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝x2－x－1.∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的表达式.eq\x(导学号69174411)[解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.B级素养提升一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于eq\x(导学号69174412)(C)A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称[解析]∵f(x)＝eq\f(1,x)－x(x≠0)，∴f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，所以f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于原点对称，故选C．2．若函数f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a等于eq\x(导学号69174413)(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3) C．eq\f(3,4) D．1[解析]方法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(－x,－2x＋1－x－a)＝－eq\f(x,2x＋1x－a)，即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，整理得(2a－1)x∴必须有2a－1＝0，∴a＝eq\f(1,2)，故选A．方法二：由于函数f(x)是奇函数，所以必有f(－1)＝－f(1)，即eq\f(1,－1－a)＝－eq\f(1,31－a)，即1＋a＝3(1－a)，解得a＝eq\f(1,2)，故选A．3．(2023·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝eq\x(导学号69174414)(C)A．3 B．5 C．7 D．－[解析]令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，则g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝－3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.4．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是eq\x(导学号69174415)(C)A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数[解析]令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1，∴f(－x)＋1＝－f(x)－1＝－(f(x)＋1)，∴f(x)＋1为奇函数．二、填空题5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为__②④__(填序号).eq\x(导学号69174416)[解析]∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴①为偶函数；∵f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，∴②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是\x(导学号69174417)[解析]∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.C级能力拔高1．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值.eq\x(导学号69174418)[思路分析]思路1：先由f(x)为奇函数，结合x<0时，f(x)的解析式求出x>0时，f(x)的解析式，再求x∈[1,3]时，f(x)的最值，最后求m－n.思路2：可由x<0时的解析式求出x∈[－3，－1]上的最大值和最小值，再根据函数为奇函数，确定函数在x∈[1,3]的最小值和最大值，从而求m－n的值．[解析]∵x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，∴当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝f(－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,4)，f(x)max＝f(－3)＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(x)在x∈[1,3]上的最小值和最大值分别是－2，eq\f(1,4)，∴m＝eq\f(1,4)，n＝－2.∴m－n＝eq\f(1,4)－(－2)＝eq\f(9,4)，即m－n的值为eq\f(9,4).2．设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－\x(导学号69174419)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值．[解析](1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)