高中数学高考大联考大联考 湖南省百所重点名校大联考高三高考冲刺数学（文）模拟试题

湖南省百所重点名校大联考·高三高考冲刺文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本卷答题时间120分钟，满分150分.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项1.全集，，，则（）A. B. C. D.，y互为共轭复数，且，则（） B. 3.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. 4.某城市2023年12个月的平均浓度指数如下图所示.根据图可以判断，四个季度中的平均浓度指数方差最小的是（）A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度5.下列四个命题：：任意，；：存在，；：任意，；：存在，.其中的真命题是（）A.， B.， C.， D.，6.某几何体三视图如图，则该几何体体积是（） B. C. 7.已知函数，以下结论错误的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.在直线与曲线的交点中，两交点间距离的最小值为8.已知，给出下列四个命题：：， ：，：， ：，其中真命题的是（）A.， B.， C.， D.，9.已知是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知定义在R上的奇函数满足当时，，则的解集为（）A. B.C. D.11.直线（）与抛物线C：交于A，B两点，F为C的焦点，若，则k的值是（）A. B. D.12.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.执行下面的程序框图，若，则输出n的值为______.14.已知P为抛物线C：上一动点，直线l：与x轴、y轴交于M，N两点，点且，则的最小值为______.15.锐角三角形中，，，则面积的取值范围为______.16.已知A，B，C，D四点均在以点为球心的球面上，且，，.若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知数列满足：，（，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）令，（，2，3，…），如果对任意，都有，求实数的取值范围.18.如图，在三棱锥中，，，，，，且V在平面上的射影D在线段上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设二面角为，求的余弦值.19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图.（Ⅰ）根据散点图判断，在推广期内，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?（说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表l中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：2535其中，参考公式：对于一组数据，其回归直线，.20.已知抛物线C：（）的焦点到准线的距离为，直线l：（）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D.（Ⅰ）若D的坐标为，求a的值；（Ⅱ）设线段的中点为N，点D的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为G，且直线与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围.21.已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于P，Q两点，射线与曲线相交于点A，射线与曲线相交于点B，求的值.23.[选修4–5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，，若对任意的都成立，求实数k的取值范围.湖南省百所重点名校大联考·高三高考冲刺文科数学试题 参考答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112选项DBABDBCDAABAD2、B【解析】设，，代入得，所以，，解得，，所以.3、A【解析】因为是奇函数，所以，故选A.4、B【解析】方差最小的数据最稳定，所以选B.5、D【解析】对于，，为真命题；，为假命题；，为假命题；时，为真命题；选D.6、B【解析】几何体为一个三棱锥，如图，，，，，面，体积是，选B.7、C【解析】对于函数，令，求得为函数的最大值，可得它的图象关于直线，故A正确；令，求得，可得它的图象关于点对称故B正确；函数，在区间上，，故单调递减，故C错误；令，求得，∴，或，，故在直线与曲线的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确；故选C.8、D【解析】可行域为一个三角形及其内部，其中，，，所以直线过点A时取最小值；过点A时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，因此选D.9、A【解析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，过点B与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则、、设因为所以P点轨迹为令则，则由得故选A.10、A【解析】由于函数为奇函数，并且在R上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.11、B【解析】分别过A，B项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，则，.设直线（）与x轴交于点P，则.∵抛物线的方程为∴抛物线的准线方程为，即点P在准线上.

∵∴根据正弦定理可得∴∴，即B为的中点.联立方程组，消去x可得：.设，，则.∵B为的中点∴，即.∵∴直线的斜率为故选B.12、A解析：由题意可得，，令，得或（），由是函数的唯一极值点知（）恒成立或（）恒成立，由（）和（）的图象可知，只能是（）恒成立.法一：由知，，则，设，则.由，得当时，，单调递增；当，，单调递减，所以，所以.法二：（）恒成立，则（）的图象在（）的图象的上方（含相切），①若，易知满足题意；②若，设（）与（）的图象在点处有相同的切线，则解得数形结合可知，.综上，k的取值范围是.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、5【解析】循环依次为，；，；，，，；结束循环，输出.14、【解析】由题意得，，由得，，因此，所以选B.15、【解析】∵，，可得：∴，，∵，可得：，∴，可得：则面积的取值范围为16、8解析：由题意，得，所以，所以为等腰直角三角形.如图，设的中点为O，则O为的外心，且外接圆半径.连接，，因为，所以，，又，所以，所以，所以平面，所以球心在直线上.设球的半径为R，则有，即，解得.当球直径最大时，球与平面相切，且与球内切，此时A，O，，四点共线，所以球直径的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17、解析：（1）证明：由题可知：①，②②①可得即，又是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可得，故设数列的第r项最大，则有，解得故数列的最大项是∵对任意，都有，即成立，解得或或18（Ⅰ）证明：，，，平面，，平面.（Ⅱ）解：（法一）作垂足为E，连接，则为二面角的平面角.在中，，，，，，，在中，，，，，又平面，，又，，.（法二）在中，，，，，，，在中，，，又平面，，又，，如图建立直角坐标系，，，，，平面的法向量为，平面的法向量为，.19.解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型（理由合理即可，此答案不具体给出）；（2），两边同时取常用对数得：；设，，，，，把样本中心点代入，得：，，，∴y关于x的回归方程式：；把代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；20.（1）由抛物线C：（）的焦点到准线的距离为，得，则抛物线C的方程为.设切线的方程为，代入得，由得，当时，点A的横坐标为，则，当时，同理可得.综上得.（2）由（1）知，，，所以以线段为直径的圆为圆O：，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，因为G为直线与圆O的切点，所以，，所以，所以，，所以直线的方程为，由消去y整理得，因为直线与圆相交，所以.设，，则，，所以，所以，设，因为，所以，所以，所以.21、（1）的定义域为，又，令，得或.当，则，由得，由得，函数在上单调递减，在上单调递增.当，则，由得，由得或，函数在上单调递减，在和上单调递增.当，则，可得，此时函数在上单调递增.当时，则，由得，由得或，函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）当时，由（1）得函数在上单调递减，在和上单调递增，从而在上的最小值为.对任意，存在，使，即存在，函数值不超过在区间上的最小值.由得，.记，则当时，.，当，显然有，当，，故在区间上单调递减，得，从而m的取值范围为.22.（1）曲线的普通方程为，化成极坐标方程为曲线的直角