2021-2022学年河北省石家庄市都户乡中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年河北省石家庄市都户乡中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（

）A.0 B. C.0或 D.以上都不对参考答案：B【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ综上所述，得所求余弦值为故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．2.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A．

B． C．

D．参考答案：A略3.已知函数的零点均在区间内，则圆的面积的最小值是 A．4 B． C．9 D．以上都不正确参考答案：B∵，当或时，成立，且∴对恒成立，∴函数在R上单调递增，又∵，，∴函数的唯一零点在[-1,0]内，函数的唯一零点在[-5，-4]内，由题意可知：b-a的最小值为1，∴圆的面积的最小值为。4.“”是“”的() ks5u A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B5.已知全集，集合，，那么集合（▲）。A．

B．C．

D．参考答案：C略6.一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为

A．

B．

C．

D．

参考答案：B7.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0=A0A1，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（

）A．2:1

B．4:3

C．3:2

D．1:1参考答案：A8.已知函数f（x）=cos（2x+），将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是（

）A．B．C． D．参考答案：D【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，诱导公式，求得φ的值．【解答】解：已知函数f（x）=cos（2x+），将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得y=cos（4x+）的图象，再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，可得y=cos（4x﹣4|φ|+）的图象．根据所得的图象关于原点对称，可得﹣4|φ|+=kπ+，k∈Z，令k=﹣1，可得φ的一个值是，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9.数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（

）盏灯.A.24

B.48

C.12

D.60参考答案：A10.某程序框图如右图所示，若输入，则输出的结果是（

）A．2

B．3

C．4

D．5

参考答案：B当时，，；当时，；当时，，当时，，满足条件，所以输出的结果为3，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，若=

.参考答案：略12.已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为

．参考答案：4【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.参考答案：14.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则函数在点处的切线方程是

．参考答案：15.已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b?f（a）的取值范围是．参考答案：考点： 函数的零点；函数的值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在a＞b≥0时，要使f（a）=f（b），必然有b∈[0，1），a∈[1，+∞），然后通过图象看出使f（a）=f（b）的b与f（a）的范围，则b?f（a）的取值范围可求．解答： 解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b?f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．点评： 本题考查函数的零点，考查了函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，此题是中档题．16.理：已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，,若=0，则=

.参考答案：-2，17.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）函数在处取得极值，求（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；（Ⅲ）求证：参考答案：解析：（Ⅰ），定义域是，，令，解得---------3分

（Ⅱ）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．

……………7分（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，

．…………10分，．

………12分（法二）当时，．，，即时命题成立．

…………7分设当时，命题成立，即．时，．根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．………11分因此，由数学归纳法可知不等式成立．

………12分（法三）如图，根据定积分的定义，得．，．

………………12分，又，，……12分．．

…………………12分略19.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系和参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（I）求圆的直角坐标方程；（II）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.【知识点】选修4-4

参数与参数方程N3参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）-

（Ⅱ）,

，【思路点拨】由极坐标方程转化为普通方程求出结果。20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度.如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1)

当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值.

(精确到1cm).参考答案：解：(1)当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600，

…………………..2分故|OB|=.

.……………………..4分

所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40，……..6分此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(+h)=，得证.

…..8分(2)只要d40，

…………..12分即40，解得h16cm.，所以h的最大值为16cm.

…..14分21.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD.

（I）求证：直线AB是⊙O的切线；

（II）若tan∠CED=,⊙O的半径为3，求OA的长.参考答案：略22.（12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：（1）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P1；（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数