2021-2022学年河北省唐山市迁安沙河驿镇初级中学高二数学理联考试题含解析

2021-2022学年河北省唐山市迁安沙河驿镇初级中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某比赛中，七位评委为某个节目打出的分数如右图茎叶统计图所示，去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据的平均数和方差分别是（）

A.84,

4.84

B.84，

16

C.85，1.6

D.85，

4参考答案：C2.定义运算：例如，则的零点是A.

B.

C.1

D.参考答案：A3.若变量满足约束条件，则的最大值为（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：B4.曲线在处的切线方程是

（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：D略5.函数,的最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.四条曲线(直线)y=sinx；y=cosx；x=-；x=所围成的区域的面积是()A． B．2 C．0 D．参考答案：A

略7.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件

则该校招聘的教师人数最多是

A．6

B．8

C．10

D．12参考答案：C略8.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知，，设面DBA1的法向量，由，知，由向量法能求出D1到平面A1BD的距离．【解答】解：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），∴，，设面DBA1的法向量，∵，∴，∴，∴D1到平面A1BD的距离d===．故选D．【点评】本题考查点线面间的距离计算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．9.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.在各项均为正数的等比数列中，，则（

）A.4 B.6 C.8 D.8－参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量则向量的关系为_____________.参考答案：相交或异面略12.若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为

．参考答案：±3【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，圆心距=|t|=2+1，∴t=±3，故答案为±3．13.函数的单调递减区间

.

参考答案：

略14.若直线l：x－y－a＝0与圆C：x2＋y2－2x＋4y－5＝0相交于M，N两点。若△MCN为等边三角形，则a＝

。参考答案：-1或1115.在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最小内角的余弦值等于．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，可求A为三角形的最小内角，代入余弦定理化简即可得解．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，∴a=，c=，A为三角形的最小内角，∴由余弦定理可得cosA===．故答案为：．【点评】本题考查正余弦定理的应用，用b表示a，c是解决问题的关键，属于基础题．16.已知两向量与满足，且，则与的夹角为

．参考答案：120°【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】将展开计算，代入夹角公式计算．【解答】解：=16，=4，∵，∴+2+3=12，∴=﹣4，∴cos＜＞==﹣．∴与的夹角为120°．故答案为：120°．17.令p(x):ax2+2x+1＞0,若对任意x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是

.参考答案：a>1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，某观光休闲庄园内有一块扇形花卉园OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，扇形半径为500米，cos∠AOB=．庄园经营者欲在花卉园内修建一条赏花长廊，分别在边OA、弧、边OB上选点D，C，E修建赏花长廊CD，CE，且CD∥OB，CE∥OA，设CD长为x米，CE长为y米．（Ⅰ）试求x，y满足的关系式；（Ⅱ）问x，y分别为何值时，才能使得修建赏花长廊CD与CE的总长最大，并说明理由．参考答案：【考点】解三角形的实际应用；余弦定理．【分析】（Ⅰ）连接OC，设OC=500．则CD=x，OD=CE=y，利用余弦定理，即可求x，y满足的关系式；（Ⅱ）利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，四边形ODCE是平行四边形．因为，所以…连接OC，设OC=500．则CD=x，OD=CE=y．…在△ODC中，由余弦定理得，OC2=OD2+DC2﹣2OD?DCcos∠ODC…则，即．…（Ⅱ）所以…解得，当且仅当时取等号，…所以x+y的最大值为，此时C为的中点．…19.已知复数，为虚数单位.（1）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数.参考答案：（I）=，

由题意得

解得

（II）

20.已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，根据f′（1）=﹣2，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知（m，m+1）?（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4

①式f′（x）=3ax2+2bx，则f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0

②式由①②式解得a=1，b=3；（2）f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，∵函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增∴（m，m+1）?（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3．21.如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（1）证明：AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）由已知中平面VAD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，我们根据正方形的性质及面面垂直的性质定理，得到AB⊥平面VAD；

（2）取VD中点E，连接AE，BE，可得∠AEB即为所求的二面角的平面角，解△AEB即可得到面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值；【解答】证明：（1）平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD（2）取VD中点E，连接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴∵AB⊥面VAD，AE，VD?平面VAD∴AB⊥VD，AB⊥AE∴AE⊥VD，AB⊥VD，AB∩AE=A，且AB，AE?平面ABE，DVD⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，∴BE⊥VD，∴∠AEB即为所求的二面角的平面角．在RT△ABE中，，cos∠AEB=22.（14分）如图，已知点E是圆心为O1半径为2的半圆弧上从点B数起的第一个三等分点，点F是圆心为O2半径为1的半圆弧的中点，AB、CD分别是两个半圆的直径，O1O2=2，直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面．（1）求三棱锥D﹣ABE的体积；（2）求直线DE与平面ABE所成的角的正切值；（3）求直线AF与BE所成角的余弦值．参考答案：（1）解法一：由已知条件，，所以，三角形中边上的高，………2分于是.因为直线与两个半圆所在的平面均垂直，直线、共面，所以，三棱锥的高等于，于是，

………3分.

………4分

解法二：由已知条件E为弧AB的右三等分点，所以，，

………2分因为直线与两个半圆所在的平面均垂直，直线、共面，所以，三棱锥的高等于，于是，

………3分.

………4分（2）解法一：设点是线段的中点，连接，则由已知条件知道，，而，所以四边形是平行四边形，因此，又平面，

于是，平面，

………6分从而直线在平面上的射影是直线，故就是直线与平面所成的角.

………7分由题设知，，于是=，

………8分所以，.

………9分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则，………5分平面ABE的一个法向量为

………6分

设线DE与平面所成的角为，则………8分从而

………9分（3）解法一：以点为坐