高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语【省一等奖】2

2023学年吉林省吉林市船营区毓文中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．62．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）A．∃x0∈N，x02+2x0≤3 B．∀x∈N，x2+2x≤3C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜33．是lgx＞lgy的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=35．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣16．若命题p：＜0，命题q：x2＜2x，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2] D．[2，3]8．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题9．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（）A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y10．下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，）C．y= D．11．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0 B．﹣2 C． D．﹣312．若数列{an}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值为．14．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为．15．Sn是数列{an}的前n项和，若Sn=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2=．16．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知等差数列{an}满足a2=2，a5=8．（1）求{an}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{bn}中，b1=1，b2+b3=a4，求{bn}的前n项和Tn．18．在△ABC中，cos2A=cos2A﹣cosA．（I）求角A的大小；（II）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．19．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1），（1）求数列{an}的通项公式an（2）数列{bn}的通项公式bn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．21．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？22．已知数列{an}满足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若=，求证：≤++…+＜1．

2023学年吉林省吉林市船营区毓文中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）A．∃x0∈N，x02+2x0≤3 B．∀x∈N，x2+2x≤3C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜3【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是求出命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为：∀x∈N，x2+2x＜3．故选：D．3．是lgx＞lgy的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件，可先研究成立时lgx＞lgy成立的与否，确定充分性，再由lgx＞lgy成立时研究是否成立确定必要性，从而选出正确选项【解答】解：时不能保证lgx＞lgy成立，因为当y=0时，lgy没有意义lgx＞lgy可得出，因为当lgx＞lgy时，可得出x＞y＞0，由不等式的性质可得出由上判断知，是lgx＞lgy的必要不充分条件故选B．4．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3【考点】四种命题．【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．【解答】解：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A5．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11故选B6．若命题p：＜0，命题q：x2＜2x，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求解不等式得出相应的解集，利用充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵，∴0＜x＜1，∵x2＜2x，∴0＜x＜2∵{x|0＜x＜1}⊊{x|0＜x＜2}∴根据充分必要条件的定义可判断得出：命题p是q的充分必要条件故选：A7．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2] D．[2，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得，即A（﹣1，2），则DA的斜率kDA=，由，解得，即B（﹣1，﹣2），则DB的斜率kDB=，则﹣2≤z≤2，故的取值范围是[﹣2，2]，故选：C8．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．写出命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题，再判断其真假即可；B．利用特称命题的否定为全称命题，可判断B的正误；C．△ABC中，利用正弦定理及大边对大角可判断C的正误；D．利用复合命题p∧q一假则假可判断D的正误．【解答】解：A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，A正确；B．特称命题的否定为全称命题，由于命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，B正确；C．△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，故△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件，C正确；D．若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，不一定均为假命题，D错误．故选：D．9．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（）A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y【考点】不等关系与不等式．【分析】这考查有关不等式的四则运算的知识，主要是不要忽略了a等于零的情况．【解答】解：当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变．当a=0时，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y．故选C．10．下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，）C．y= D．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法则：“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】解：A．x＜0时无最小值，不成立；B．∵x∈（0，），∴sinx∈（0，1），∴y＞2，因此不成立；C.+＞2，因此不成立；D．y=+﹣2﹣2=2，当且仅当x=4时取等号，成立．故选：D．11．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0 B．﹣2 C． D．﹣3【考点】一元二次不等式与二次函数．【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C12．若数列{an}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】数列递推式．【分析】由新定义得到数列{bn}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得bn+1=qbn，则数列{bn}为等比数列．又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】把ab写成，利用基本不等式求出ab的最大值，取倒数则可求得的最小值．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以，所以．故答案为．14．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得，即B（6，6），此时B也在直线y=k上，∴k=6，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，由，即，即A（﹣12，6），此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣615．Sn是数列{an}的前n项和，若Sn=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2=．【考点】数列的求和．【分析】利用递推关系可得an，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵，∴当n=1时，a1=2；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1．当n=1时上式也成立，∴an=2×3n﹣1．∴=4×32n﹣2=4×9n﹣1．∴数列{}是等比数列，首项为4，公比为9．∴==；故答案为：．16．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知等差数列{an}满足a2=2，a5=8．（1）求{an}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{bn}中，b1=1，b2+b3=a4，求{bn}的前n项和Tn．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）求{an}的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由an=a5+（n﹣5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得a1=0，d=2∴数列{an}的通项公式an=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）由（1）知an=2n﹣2b1=1，b2+b3=a4=6∴q≠1∴q=2或q=﹣3（舍去）∴{bn}的前n项和Tn=2n﹣118．在△ABC中，cos2A=cos2A﹣cosA．（I）求角A的大小；（II）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用条件，结合二倍角公式，即可求得角A的大小；（II）利用正弦定理，求得b=2c，再利用余弦定理，即可求得三角形的边，从而可求三角形的面积．【解答】解：（I）由已知得：，…∴．…∵0＜A＜π，∴．…（II）由可得：…∴b=2c…∵…∴…∴．…19．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假；二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据对数函数的单调性我们易判断出命题p为真命题时参数a的取值范围，及命题p为假命题时参数a的取值范围；根据二次函数零点个数的确定方法，我们易判断出命题q为真命题时参数a的取值范围，及命题q为假命题时参数a的取值范围；由p且q为假命题，p或q为真命题，我们易得到p与q一真一假，分类讨论，分别构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．【解答】解：若p为真，则0＜a＜1．若q为真，则△＞0即（2a﹣3）2﹣4＞0解得a＜或a＞．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q中有且只有一个为真命题．（a＞0且a≠1）若p真q假，则∴≤a＜1若p假q真，则∴a综上所述，a的取值范围为：[，1）∪（，+∞）．20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1），（1）求数列{an}的通项公式an（2）数列{bn}的通项公式bn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．【考点】数列的求和．【分析】（1）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1=2n，再求得n=1时a1的值，检验是否满足n≥2时的关系式，从而可得数列{an}的通项公式an；（2）利用裂项法可得bn=（﹣），从而可得数列{bn}的前n项和为Tn．【解答】解：（1）n=1时，S1=a1=2…，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n…经检验n=1时成立，…综上an=2n…（2）由（1）可知…Tn=b1+b2+b3+…+bn=…==…21．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（Ⅰ）请将从甲地到乙地