2021-2022学年广东省阳江市春湾中学高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年广东省阳江市春湾中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是()A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.已知函数则当时，函数在区间(－1,1]内的零点个数为（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C【分析】利用转化思想将零点问题转化为分段函数在区间内与过定点的直线的函数图象的交点，进而作图分析由数形结合思想即可得答案.【详解】函数在区间内的零点，可等价于方程的根，进一步转化为分段函数在区间内与过定点的直线的函数图象的交点，作出分段函数的在区间内图象，因为直线过定点且斜率，则直线必然与线段OB相交于一点，故交点个数有2个，所以函数在区间内的零点个数为2.故选：C【点睛】本题考查利用转化思想与数形结合思想解决函数的零点个数问题，属于较难题.3.设全集U=R，，那么如图中阴影部分表示的集合为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题，知阴影部分表示的为，算出集合M、N表示的范围，根据集合的交集与补集的运算，即可得到本题答案.【详解】由题，知阴影部分表示的为，由，得，，由，得，，所以，，那么如图中阴影部分表示的集合为.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的运算，属基础题.4.已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意解出点A，B的坐标，从而求出＜1，从而求出该椭圆离心率．【解答】解：由题意，+=1，从而可得，y=；故A（c，），B（c，﹣）；故由△ABF1是锐角三角形知，＜1；故＜1；即e2+2e﹣1＞0；故﹣1＜e＜1；故选C．5.函数的定义域为----------------------（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.已知P，Q为圆：上的任意两点，且，若线段PQ的中点组成的区域为M，在圆O内任取一点，则该点落在区域M内的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：设为弦的中点，如图所示，由，知，所以中点组成的区域为是由圆与圆组成的圆环，所以在内部任取一点落在内的概率为，故选．7.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（）A．有极大值，没有极大值

B．没有极大值，没有最大值

C.有极大值，有最大值

D．没有极大值，有最大值参考答案：A由题意，函数的图象可知，当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，所以函数有极大值，没有最大值，故选A.

8.已知点M（），若的最小值为3，则的值为（

）A、－4B、4C、－3D、3参考答案：D略9.设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.【详解】存在实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于，有如下四个命题:

①若，则为等腰三角形;②若，则不一定是直角三角形;③若，则是钝角三角形;④若，则是等边三角形。其中正确的命题是_____参考答案：②④12.已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f(x)=cos2x+4(a+c)sinx+1的最大值的取值范围为__________．参考答案：(12,24]由的三边分别为，，可得：，可知：，，，可知可知当时，则的最大值的取值范围为(12,24]点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．13.已知双曲线的离心率为2，且两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为．参考答案：y2=4x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，运用代入法，求得AB，再由三角形的面积公式，结合离心率公式和a，b，c的关系，化简整理，解方程可得p，进而得到双曲线方程．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，双曲线的渐近线方程为y=±x，把x=﹣代入y=±x，解得y=±．∴|AB|=，∵△AOB的面积为，∴??=，由e===2，解得=．∴=1，解得p=2．∴该抛物线的标准方程是y2=4x．故答案为：y2=4x．14.若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为

．参考答案：﹣1考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：分别在已知的二项式中取x=0和，得到a0=1，，则答案可求．解答： 由（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，∴．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是在已知的二项式中对x值的选取，是基础题．15.下列说法：

①“”的否定是“”；

②函数的最小正周期是

③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；

④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是

。参考答案：略16.展开式中常数项为

．参考答案：略17.已知向量，满足，，，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论．参考答案：【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），根据导数的几何意义和条件求出a的值；（Ⅱ）由条件设g（x）=f（x）﹣2x，化简后求出函数g（x）的定义域，求出g′（x）后利用基本不等式判断出g′（x）＞0，再判断出g（x）的单调性，根据g（1）和g（e）的符号，判断出函数零点的个数，即可得到方程f（x）=2x根的个数．解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=x2+alnx，则，因为在点P（1，f（1））处的切线斜率为10，所以f′（1）=2+a=10，解得a=8；（Ⅱ）方程f（x）=2x有一个实数根，由（Ⅰ）得，f（x）=x2+8lnx，设g（x）=f（x）﹣2x=x2+8lnx﹣2x，且定义域是（0，+∞），则≥2=6＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，因为g（1）=1﹣2=﹣1＜0，g（e）=e2﹣2e+8＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上有一个零点，即方程f（x）=2x有一个实数根．【点评】：本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，以及方程的根与函数零点的相互转化，属于中档题．19.（本小题满分14分）在中，满足的夹角为

，M是AB的中点（1）若，求向量的夹角的余弦值（2）若，在AC上确定一点D的位置,使得达到最小，并求出最小值参考答案：略20.在平面直角坐标系中，已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹，曲线是由曲线绕坐标原点按顺时针方向旋转形成的．（1）求曲线与坐标轴的交点坐标，以及曲线的方程；（2）过定点的直线交曲线于、两点，已知曲线上存在不同的两点、关于直线对称．问：弦长是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）设，由题意，可知曲线为抛物线，并且有，化简，得抛物线的方程为：．令，得或，令，得或，所以，曲线与坐标轴的交点坐标为和，．

（3分）由题意可知，曲线为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点，点到的距离为．

（2分）所以是以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为：．

（3分）（2）设，，由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，

（1分）则得，所以

①

（2分），设弦的中点为，则

因为在直线上，所以，即

②

将②代入①，得，

（4分）设，则．

（1分）构造函数，．由已知，当，即时，无最大值，所以弦长不存在最大值．

（1分）当时，有最大值，即弦长有最大值

（1分）

略21.设计算法求的值．要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序．参考答案：解析：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．程序框图如下图所示

22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点，（1）证明：BD⊥平面PAC（2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO为DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，设AC与BD的交点为O，∵AB=BC=2，AD=CD=，