2024-2025学年山东省聊城市高一上学期期末数学教学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省聊城市高一上学期期末数学教学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（

）A． B．C． D．3．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（

）

A． B．C． D．6．函数的图象大致为（

）A． B． C． D．7．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．以下说法正确的是（

）A．“，”的否定是“，”B．“”是“”的充分不必要条件C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为D．“，”是真命题，则10．若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．在上单调递增C．若、，且，则D．把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则12．已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（

）A．，都有B．当时，C．是减函数D．若，则不等式的解集为三、填空题（本大题共4小题）13．已知幂函数的图象通过点，则．14．若，且，则的最小值为．15．在中，，边上的高等于，则．16．定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题）17．函数的值域为，的定义域为．(1)求；(2)若，求实数的取值范围．18．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．(1)求的值；(2)已知为锐角，，求．19．为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：建立平台年数工x123会员人数y（千人）142029为了描述建立平台年数与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．(1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；(2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求t的最小值．参考数据：，，．20．已知函数．(1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；(2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形．21．已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且．(1)求的值及函数在上的最小值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．22．若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”．(1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式；(2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．注：为自然对数的底数．

答案1．【正确答案】C【分析】利用补集和交集的概念求出答案.【详解】，故.故选：C2．【正确答案】B【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解.【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误；对于B，若，首先定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，又，所以是周期函数，故B正确；对于C，画出函数的图象如图所示：由此可知函数不是周期函数，故C错误；对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误.故选：B.3．【正确答案】A【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，则，.则.故选：A.4．【正确答案】D【分析】直接判断的范围，再比较大小.【详解】利用对数函数的性质可得,,利用诱导公式可得所以.故选：D5．【正确答案】A【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式.【详解】设，由题意可知，，，解得，，函数的最小正周期为，则，当时，，可得，又因为，则，故，故选：A.6．【正确答案】C【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再带入特殊点逐一排除即可.【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称.因为，所以函数为奇函数，故排除选项B;因为，故排除选项A;因为，故排除选项D.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】当时，，由于是三角形的一个内角，所以，则，由于函数在区间上单调，所以，解得，即的取值范围为.故选：B8．【正确答案】B【分析】画出函数和的图象，得到，，且，化简得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】画出的图象和的图象，如下：由题意得，，且，即，，故，当且仅当，即时，等号成立，故选：B函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.9．【正确答案】ACD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D.【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，即，解得，因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为，则该扇形面积为，故C正确；对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立.当时，命题成立；当时，，解得，综上可得，，故D正确；故选：ACD.10．【正确答案】BC【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项.【详解】因为函数为上的增函数，由，可得，对于A选项，当时，，A错；对于B选项，因为，则，所以，，B对；对于C选项，因为，则，可得，所以，，因为对数函数为上的减函数，故，C对；对于D选项，，D错.故选：BC.11．【正确答案】ACD【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可求出的值，代值计算出的值，可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】对于A选项，由图可知，，函数的最小正周期满足，可得，则，则，又因为，可得，因为，则，所以，，可得，所以，，A对；对于B选项，当时，，所以，在上不单调，B错；对于C选项，当时，，由可得，所以，函数在区间内的图象关于直线对称，若、，且，则，所以，，C对；对于D选项，把的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则，D对.故选：ACD.12．【正确答案】BCD【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D.【详解】令，则，又，所以.当时，，所以，又，所以，即.A错误，B正确.设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，，所以，即，所以在上单调递减.C正确.因为，所以，所以，即，又在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为,D正确.故选：BCD13．【正确答案】/0.5【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值.【详解】设幂函数的解析式为∵幂函数过点∴∴∴该函数的解析式为，∴.故14．【正确答案】8【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解.【详解】因为若，且，则，又因为，所以，令，则，即，解得或（舍去），当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8.故8.15．【正确答案】【分析】由题意得，由此锐角三角函数以及两角和的正切公式即可求解.【详解】由题意设为边上的高，，又，所以，所以垂足必定落在线段上面，如图所示：

，，又，所以.故答案为.16．【正确答案】【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出.【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以越靠近对称轴函数值越小，所以由得，由于，所以，可得，即时恒成立，可得，由于在时单调递增，，在时单调递减，，所以恒成立，则实数a的取值范围故答案为.结论点睛：对称性的常用结论如下（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；（2）若函数满足或或，则的一个对称中心.17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合；（2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：因为在上单调递减，所以，当时有最大值，且最大值为，当时，有最小值，最小值为，所以．（2）解：由，得，解得，所以，，因为，所以，解得．故实数的取值范围．18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值；（2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值.【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以，则，，．．（2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即，又因为为锐角，则，可得，因为，则，因为，所以．则．所以．19．【正确答案】(1)模型③，理由见解析，，(2)12【分析】（1）根据表中数据的增长速度选出正确的模型，待定系数法求出解析式；（2）在（1）的基础上，解不等式，求出答案.【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快．因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③．将数据代入可得，解得，所以，函数为，．（2）由（1）知，，则．得，．故t的最小值为12．20．【正确答案】(1)单调递减，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用单调性得定义证明即可；（2）构造，只需证明为奇函数即可.【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下：任取，且，．因为，且，所以，，所以，即，故函数在上单调递减．（2）证明：设，则．因为函数定义域为，且，所以为奇函数．故的图象关于点成中心对称图形．21．【正确答案】(1)，最小值为(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值；（2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：函数，则，因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且，所以，函数的最小正周期为，则，可得．由，得，所以，，所以，，故函数在上的最小值为．（2）解：设，因为，所以．因为不等式恒成立，设，所以在上恒成立．则，即，解得，故的取值范围为．22．【正确答案】(1)，(2)存在，，【分析】（1）根据题意以及函数的奇偶性可得出关于、的等式组，即可解得函数、的解析式；（2）假设存在实数、满足题设要求，根据偶函数的定义结合对数的运算性质可得出，再由函数的值域结合基本不等式可求出的值，进而可得出的值，即可得出结论.【详解】（1）解：因为为、的“函数”，所以①，所以．因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以②，联立①②得，，．（2）解：假设存在实数、使得函数为函数、