高中数学苏教版第二章平面向量单元测试

第2章平面向量2．1向量的概念及表示情景：如图，一只老鼠从A处以30km/h的速度向西北方向逃窜，如果猫由B处向正东方向以40km/h的速度追．思考：猫能捉到老鼠吗？为什么？1．我们把既有________又有________的量叫做向量．如：力、位移、速度、加速度等．答案：大小方向2．向量的表示方法有两种，即________或________．答案：eq\o(AB,\s\up6(→))a\o(AB,\s\up6(→))的大小，也就是eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.长度为零的向量叫做________，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做________．答案：零向量单位向量4．________的非零向量叫做平行向量，规定0与任一向量平行．答案：方向相同或相反5．________的向量叫相等向量．若a与b相等，记作________．答案：大小相等方向相同a＝b6．由于向量可以平移，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫________．答案：共线向量7．把与向量a________的向量叫做a的相反向量，记作________，a与－a互为________，零向量的相反向量仍是零向量．对于任一向量a有－(－a)＝________．答案：长度相等，方向相反－a相反向量a8．向量与有向线段的区别是：向量是________，只有________和________两个要素，与________无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同向量．有向线段有________、________和________三个要素，________不同，尽管大小和方向相同也是不同的有向线段．答案：自由向量大小方向起点起点大小方向起点9．共线向量与相等向量的关系，即共线向量________是相等向量，而相等的向量________是共线向量．答案：不一定一定10．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平移的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．由此可知，任意一组平行向量都可以________．答案：移到同一条直线上向量的概念及表示1．既有大小又有方向的量称为向量．2．向量的两种表示方法．(1)有向线段表示eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)字母表示a，b，c，….零向量和单位向量零向量是一个特殊的向量，其方向不确定，是任意的，所以零向量不同于任何向量，在今后的学习中要注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目所给的是“零向量”还是“非零向量”．单位向量有无穷多个，且不同的单位向量确定不同的方向．平行向量、共线向量、相等向量、相反向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而非零的相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量．相反向量必为共线向量，共线向量未必为相反向量，相反向量中，只有零向量与它的相反向量相等．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．下列各量中不是向量的是()A．浮力B．风速C．位移D．密度答案：D2．下列说法正确的是()A．若a∥b，则a与b方向相同B．所有的单位向量的模都相等C．若|a|<|b|，则a<bD．长度相等的向量叫做相等向量答案：B3．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b|B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任一向量D．a＝0，且b＝0答案：D4．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的序号是________．答案：①②⑥5．如右图所示，若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是________(填序号)．①eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线；②eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))相等；③eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))是相反向量；④eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))模相等．答案：①③④6．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是________．答案：一条直线7．如下图所示，在△ABC中，DE∥BC，下列向量：eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))中共线向量有________对．答案：38．如上图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与eq\o(CA,\s\up6(→))共线的向量有________个．解析：与eq\o(CA,\s\up6(→))共线的向量有：eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→)).答案：39．如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，EF∥AB，有四组向量：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(EO,\s\up6(→))与eq\o(OF,\s\up6(→)).其中是相等向量的是________________(填序号)，模相等的向量有________________(填序号)．答案：④①②③④eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)10．如下图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形．(1)写出与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量：________；(2)写出与eq\o(BC,\s\up6(→))共线的向量：________．解析：(1)由于ABCD和BCDE均为平行四边形，所以AD＝DE＝BC.(2)只要与BC平行的线段都可以成为与eq\o(BC,\s\up6(→))共线的向量，但要注意方向．答案：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))(2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))11．如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的eq\f(1,3)处相交的两个正三角形，△ABC的边长为a，图中列出了长度均为eq\f(a,3)的若干个向量，则(1)与向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量是________；(2)与向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行的向量是________．解析：写平行向量时要注意方向相同或相反两种情形．答案：(1)eq\o(HC,\s\up6(→))，eq\o(LB′,\s\up6(→))(2)eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA′,\s\up6(→))，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB′,\s\up6(→))12．如图所示，已知五边形ABCDE是边长为1的正五边形，在以A、B、C、D、E五点中任意两点为始点和终点的向量中：模等于2cos36°的向量个数为________．解析：由正五边形内角公式得：每个内角的角度为α＝eq\f(（5－2）×180°,5)＝108°，∴∠BAC＝36°.过点B作BM⊥AC，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2·cos36°.于是模等于2cos36°的向量为eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))、eq\o(CE,\s\up6(→))、eq\o(EC,\s\up6(→))、eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(EB,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→)).共10个．答案：10个13．如右图，扇形OAB中eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(4π,5)，∠AOB＝eq\f(π,3)，C是弦AB的中点，这时|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________．解析：设半径为r，则r＝eq\f(l,|α|)＝eq\f(\f(4,5)π,\f(π,3))＝eq\f(12,5).在Rt△ACO中，∠AOC＝eq\f(π,6)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝AO·sineq\f(π,6)＝eq\f(12,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)14．河中水流自西向东流速为10km/h，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10eq\r(3)km，该小船行驶的方向为________，小船在静水中的速度为________．解析：如下图所示：设小船的静水速度为v，则|v|＝eq\r(（10\r(3)）2＋102)＝20(km/h)．sinα＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，α＝30°，即小船行驶的速度大小为20km/h，行驶的方向为北偏西30°.答案：北偏西30°20km/h15．如图，四边形ABCD，BEFC，CFGD都是平行四边形，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？解析：因为：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(GF,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DG,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→)).所以图中互不相等的非零向量共有6个．16．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值．解析：(1)画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C在点C1或C2时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②当点C在点C5或C6时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(42＋52)＝eq\r(41).所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(41)，最小值为eq\r(5).17．已知两点A(1，2)，B(2sinα，log2β)，α＝kπ＋(－1)keq\f(π,6)，k∈Z，且β＝4.判断eq\o(AB,\s\up6(→))是否是零向量，是否是单位向量．解析：∵α＝kπ＋(－1)keq\f(π,6)，k∈Z，且β＝4，∴2sinα＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋（－1）k\f(π,6)))＝1.又log2β＝log24＝2，∴B(1，2)．又∵A(1，2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－1）2＋（2－2）2)＝0.∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|为零向量，不是单位向量．18．一架飞机从点A向西北方向飞行200km到达点B，再从点B向东飞行100eq\r(2)km到达点C，再从点C向东偏南30°飞行50eq\r(2)km到达点D.问点D在点A的什么方向？点D距点A多远？解析：由|BC|＝100eq\r(2)，知点C在点A的正北方向，|AC|＝100eq\r(2