2021-2022学年山东省济南市第五职业中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年山东省济南市第五职业中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数是R上的减函数，则a的取值范围是(

)A．（0，1） B． C． D．参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先根据函数y=﹣x+3a在（﹣∞，0）是减函数，再根据函数y=ax在[0，+∞）上是减函数，最后只要使y=﹣x+3a的最小值大于或等于y=ax的最小值即可．【解答】解：由题意可得f（x）=ax是减函数∴0＜a＜1又∵是R上的减函数∴当x=0时3a≥a0即3a≥1∴a又∵0＜a＜1∴∴a的取值范围是【点评】分别判断出各段函数在其定义区间的单调性，再根据最值的大小保证函数在R上具有单调性．2.对可导函数,当时恒有.若已知是一个锐角三角形的两个内角,且,记.则下列等式正确的是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A3.设是等差数列的前项和，若,，那么等于（

）A．4

B．5

C．9

D．18参考答案：B4.在复平面内，复数对应的点的坐标为（） A．（1，1） B． （﹣1，1） C． （1，﹣1） D． （﹣1，﹣1）参考答案：略5.已知是不共线的向量那么A、B、C三点共线的充要条件是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7参考答案：A考点： 程序框图．专题： 算法和程序框图．分析： 根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．解答： 解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选A．点评： 本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．7.等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比（

）A．0 B． C．

D．2参考答案：C略8.已知A，B是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（

）A． B． C． D．参考答案：B函数（其中）图象上的两个动点，函数的的图象关于直线对称，当时，，设与相切于点，设，，，解得，的最小值为，，，，，故选B.

9.定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是（

）A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：B10.若，则“关于的方程无实根”是“（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的……………（

）.充分非必要条件.

.必要非充分条件.

.充要条件.

.既非充分又非必要条件.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，则x+y+z的取值范围是__________参考答案：略12.已知集合P＝，集合Q＝，若PQ，则的最小值为

．参考答案：4画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为，所以k＝?1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以，与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．

13.已知奇函数是定义在R上的增函数，数列是一个公差为2的等差数列，且满足.则.参考答案：400914.若函数上是减函数，则实数a的取值范围是

。参考答案：答案：

15.在正方形中，是的中点，是侧面内的动点且//平面，则与平面所成角的正切值得取值范围为______________.参考答案：略16.四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD,则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体.其中正确命题的序号是

（填上所有正确命题的序号）.参考答案：①③④略17.从直线上一动点出发的两条射线恰与圆都相切，则这两条射线夹角的最大值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数。（1）若解不等式；（2）如果关于的不等式有解，求的取值范围。参考答案：解：（1）当时，

由，得，①当时，不等式化为即

所以，原不等式的解为②当时，不等式化为即

所以，原不等式无解.③当时，不等式化为即

所以，原不等式的解为

综上，原不等式的解为

（说明：若考生按其它解法解答正确，相应给分）（2）因为关于的不等式有解，所以，

因为表示数轴上的点到与两点的距离之和，所以，

解得，所以，的取值范围为。19.设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据=0代入求得x12﹣=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．【解答】解：（1）依题意知2b=2，∴b=1，e===∴a=2，c==∴椭圆的方程为（2）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，∵=0∴x12﹣=0∴y12=4x12又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+=1∴|x1|=，|y1|=s=|x1||y1﹣y2|=1所以三角形的面积为定值．②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2﹣4=0∴x1+x2=，x1x2=，△=（2kb）2﹣4（k2+4）（b2﹣4）＞0而=0，∴x1x2+=0即x1x2+=0代入整理得2b2﹣k2=4S=|AB|===1综上三角形的面积为定值1．【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．20.（本小题满分10分）如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．（1）求证：直线是⊙的切线；（2）若⊙的半径为3，求的长．参考答案：（Ⅰ）如图，连接OC,OA=OB,CA=CB,是圆的半径，是圆的切线．

（3分）（Ⅱ）是直径，又2

（<21.已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，记f（θ）=（1）求f（θ）关于θ的表达式；（2）求f（θ）的值域及单调区间．参考答案：解：（1）△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，由正弦定理有：===，求得|BC|=sinθ，|AB|=sin（﹣θ），故f（θ）=?=sin（﹣θ）?sinθ?cos（π﹣）=sin（﹣θ）?sinθ=（cosθ﹣sinθ）sinθ=（sinθcosθ﹣sin2θ）==sin（2θ+）﹣，0＜θ＜．（2）∵0＜θ＜，∴2θ+∈（，），∴f（θ）的值域为（0，]，当2θ+∈（，），即θ∈（0，）时，f（θ）是增函数；当2θ+∈（，），即θ∈（，）时，f（θ）是减函数，∴f（θ）的递增区间是（0，），递减区间是（，）．考点：正弦定理；正弦函数的图象．专题：转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（θ）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（θ）的值域，再利用正弦函数的单调性求得f（θ）的单调区间．解答：解：（1）△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，由正弦定理有：===，求得|BC|=sinθ，|AB|=sin（﹣θ），故f（θ）=?=sin（﹣θ）?sinθ?cos（π﹣）=sin（﹣θ）?sinθ=（cosθ﹣sinθ）sinθ=（sinθcosθ﹣sin2θ）==sin（2θ+）﹣，0＜θ＜．（2）∵0＜θ＜，∴2θ+∈（，），∴f（θ）的值域为（0，]，当2θ+∈（，），即θ∈（0，）时，f（θ）是增函数；当2θ+∈（，），即θ∈（，）时，f（θ）是减函数，∴f（θ）的递增区间是（0，），递减区间是（，）．点评：本题主要考查正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．22.已知函数f（x）=x3+ax+2．（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，即可得证；（Ⅱ）由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，即ex+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（ex+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=ex+mx﹣m2，运用导数，求出单调区间和极值、最值，即可得到m的范围．【解答】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），令x=0，得y=为定值；

（Ⅱ）解：由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，得xex+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，即ex+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（ex+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=ex+mx﹣m2，g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴，则有﹣1≤m≤1，若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m）