2021-2022学年广东省广州市第九十五中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省广州市第九十五中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数的图象如图所示,则当秒时,电流强度是(

)A.－5A B.5A C. D.10A参考答案：A由函数的最值可得：，函数的最小正周期为：，则，当时函数取得最大值，即：，则，令可得：，函数的解析式为：，则当秒时,电流强度是.本题选择A选项.点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.2.设集合，则A∩B等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：D4.设i是虚数单位，复数为实数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B5.函数的图象过一个定点P，且点P在直线上，则的最小值是（

）A．12

B．13

C．24

D．25参考答案：D6.对函数下列有三个命题①图像关于（，0）对称②在（0，）单调递增③若为偶函数,则的最小值为A.②③

B.①②

C.①③

D.①②③

参考答案：C7.执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：C8.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．【解答】解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化简得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故选：B．9.公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且（

）A.2

B.4

C.8

D.16参考答案：D10.定义在R上的偶函数满足，当x∈[3，4]时,，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知关于x,y的二元一次不等式组，则x+2y+2的最小值为_________参考答案：-612.直线截圆所得的弦长等于半径，则k=

。参考答案：答案:

13.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是

．参考答案：4【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．14.设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．15.在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是

。参考答案：ρcosθ=216.若复数为纯虚数，则=

▲

.参考答案：17.若对任意的则的解析式为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，由此利用导数性质能求出实数a的取值【解答】解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∵t＞0，∴t+2＞①当0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；②当，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．∴．（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，①x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）max=h（）=﹣2+，对一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max=﹣2++3e．【点评】本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．19.（本题满分12分）（理）已知正方形的边长为2，分别是边的中点．（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望．参考答案：（1）所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是．满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△和△）内部构成．其面积是．所以满足的概率为．（2）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段．其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条．所以所有可能的取值为．且，，

，，

．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望为20.已知.（1）已知是导函数，求的极值；（2）设，若有两个零点，求a的取值范围.参考答案：(1)极小值为(2)【分析】（1）先求出，再利用导数求的极值；（2）先求出,再对a分a＞0，a=0，a＜0三种情况，根据函数g(x)有两个零点求出a的取值范围.【详解】解：（1）①若，显然所以在R上递增，所以没有极值.②若，则，所以在上是减函数，在上是增函数。所以在处取极小值，极小值（2）.函数定义域为R，且.①若，则所以在上是减函数，在上是增函数。所以令，则.显然，所以在上是减函数.又函数在上是减函数，取实数，则又在上是减函数，在上是增函数。由零点存在性定理，在，上各有一个唯一的零点。所以符合题意。②若，则，显然仅有一个零点1，所以不符合题意.③若，则.（i）若，则，此时，即在R上递增，至多只有一个零点，所以不符合题意，（ii）若，则，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极大值，且极大值，所以最多有一个零点，所以不符合题意。（iii）若，则，函数在和上递增，在上递减，所以在处取得极大值，且极大值为，所以最多有一个零点，所以不符合题意.综上所述，a的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数求函数的最值和研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，M为PD的中点（1）证明：平面PAB（2）若是边长为2的等边三角形，求点C到平面PBD的距离参考答案：（1）证明见解析（2）【分析】(1)取AD中点N，连接MN和CN，首先证明、，从而证明平面平面由面面平行的性质可推出平面PAB；(2)根据题意知，证明，从而求出，由等体积法即可求出点C到平面PBD的距离.【详解】（1）如图取AD中点N，连接MN和CN，，又平面，平面，∴平面，又，四边形ABCN是平行四边形，，又平面，平面，∴平面又因为平面平面PAB，平面平面；（2）是边长为2的等边三角形，